Snabbfråga på boolesk algebra

[Jennie]

Fick ett litet fel på en uppgift och sen skrev läraren att jag skulle göra så här istället:





Trodde mig ha ganska bra koll på detta men snöpligt nog fattar jag inte hur han fick det i VL att bli det som står i HL. Någon som kan bjuda på en mer utförlig förklaring hur han kan ha kommit fram till det?
Ursäkta min okunnighet, försöker bättra mig.

[danei]

Två variabler kan ha 2² olika kombinationer. Är det inte någon av de till vänster så är det någon av dem till höger.

[Jennie]

Nja, jag är mer intresserad av hur uträkning ser ut. När man separerar en "balk/bar/whatever ovanför" så måste man ju ändra från +- till gånger och vice versa enligt De Morgans theorem, så det där är ju inte en beräkning i ett enda steg utan det må vara några mellanräkningar som han inte skrivit ut och gör att jag därmed inte förstår tankegången.

[Norberg]

\(\neg(\neg B C+B \neg C) = (B + \neg C) * (\neg B +C)\) Enligt de morgans teorem
\((B + \neg C) * (\neg B +C) = B \neg B + BC + \neg C \neg B + \neg C C\) Multiplicera bägge utrycken med varandra
\(B \neg B + BC + \neg C \neg B + \neg C C = BC + \neg C \neg B\) Stryk utryck som aldrig är sanna


Edit:
hanzibal noterade att jag skrivit att det är sanna uttryck som ska strykas, vilket naturligtvis är fel. Det är uttryck som aldrig är sanna som kan strykas, vilket också mitt exempel visade även om beskrivningen inte stämde.

[hanzibal]

!(!bc+b!c) blir (b+!c)(!b+c) och sen "multiplicerar" du ihop precis som vanlig algebra och får då b!b + bc + !c!b + !cc vilket blir bc+!b!c eftersom b!b=0 liksom !cc.

@Norberg: inte kan du väl stryka sanna i ett eller-uttryck?

[Norberg]

@hanzibal
Du har helt rätt, jag råkade skriva alltid sann istället för aldrig sann i beskrivningen, men uträkningen som sådan stämde.

[Jennie]

Toppen! Tusen tack allihopa!

[hanzibal]

@norberg: Ja, vi svarade egentligen samtidigt men sen såg jag att jag använt beteckningarna a och b istället för b och c. Tog några minuter att fixa till och såg först då att även du svarat varvid jag lade till kommentaren. Våra svar är i övrigt identiska.

Själv har jag alltid tyckt att "de Morgan's" är rätt larvig, klart som korvspad att !(a+b) blir !a!b. Analogt har ju "varken a eller b" samma innebörd som "icke-a och icke-b".

[Jennie]

Äh, vad säger ni? Vi tar väl en till då vi ändå är i farten:

A'+B+BC+B'C'
= A' + B + B'C'
= A' + B + C'

Vad som skedde i steg 1 och 2 ser jag inte riktigt heller. Hur ströks BC bort i steg 1 och hur blev B + B'C' bara B + C' i det sista steg 2?

[danei]

Om BC är sant så är även B sant så BC kan elimineras.

Om B är sant så är uttrycket sant. Om B inte är sant så är uttrycket sant om C inte är sant. Så !B!C + B kan ersättas med B +!C

[arvidb]

>Om BC är sant så är även B sant så BC kan elimineras.

Den förklaringen förstår inte jag. Däremot, om B är sant så spelar termen BC ingen roll (B + BC blir sant oavsett värde på C). Om B är falskt så kan aldrig BC vara sant (B + BC blir falskt oavsett värdet på C). Alltså kan BC elimineras.

Edit: Eller ännu tydligare:

B + BC = B(1 + C) = B*1 = B.

[hanzibal]

Om BC är sant så är även B sant så BC kan elimineras.

Det där blev nog lite fel. Saken är ju att för b+bc gäller att c kvittar eftersom det står och faller med b allena. Algebraiskt: bryt ut b och skriv b(1+c) så syns det att c kvittar.

[danei]

Jag menade samma sak som ni. Men uppenbarligen formulerade jag mig inte så bra.