Hur angriper jag det här elkretsproblemet?

[4kTRB]

Det går ut på att optimera V1 och V2 så maximal RMS-ström fås genom R1.

Begränsningarna ligger i att V1 får bara ha en frekvens mellan 10kHz och 12kHz plus
att dess fas får variera mellan 0 och 45 grader.
V2 ligger fast med 0 grader i fas och dess frekvens får variera mellan 9kHz och 10kHz.
Både V1 och V2 har konstant amplitud på 1V.

Finns det något bra tips vart jag ska starta för att angripa problemet?
jag vet mig aldrig räknat på något liknande innan.

[Rocky_AL]

Första steget lär väl vara att räkna om till ett komplext nät. sedan är C1, L1 i parallell vilket kan ersättas med en komplex komponent Z. Även C2, L2. Sedan är C3, L3 i serie som i sin tur är parallell med R1. Till slut har du bara kvar en enda komplex komponent och problemet är mycket lättare att angripa.

[4kTRB]

Ja impedanser verkar vettigt att jobba med och
sedan tänker jag mig allt till vänster om A som en ekvivalent
Norton tvåpol och samma med allt till vänster om B.

Ska börja med det.

[4kTRB]

Jag bara undrar lite nu när jag gör om L1C1, L2C2 och L3C3 till impedanser
så blir de beroende av frekvensen. Men här har jag 2st frekvenser inblandade.
Jag tror inte jag kan räkna med jw, jag tror mer på att räkna med Laplace.

i genom R1 kommer bli en mix av två sinus där var och en ska ha ett optimalt
värde för att strömmen ska bli maximal. Alltså måste jag på något sätt se när
derivatan av i rms blir noll. i rms är en integral av i(t)^2 dividerat med periodtiden och dessutom
under ett rottecken.

Tror det här kan bli lurigt men det borde gå att räkna ut utan att ta till trail an error.

[Rocky_AL]

Om jag kommer ihåg rätt så kan man väl gå tillbaka till vanligt nät från jw igen. Så gör om alla passiva komponenter till en impedans och gå sedan tillbaka till ett vanligt nät igen så borde man inte ha mer än en induktans, en kapacitans och en resistans.

Kommer inte ihåg min elkunskap så bra så jag kan ha fel.

[4kTRB]

Det kan hända du tänker rätt.
Ja en nyexad civilare löser nog det här inom en halvtimme.
Vi andra får bläddra i böcker och träna på lite gamla uppgifter
innan vi reder ut det hela.

[4kTRB]

Om jag kallar

C1//L1 = Z1
C2//L2 = Z2
C3 + L3 = Z3

så kan jag slå ihop Z1 + Z2 = Z12

V1-V2 är den totala spänningenskällan

V1-V2 i serie med Z12 blir en tvåpol som görs om till en Norton

I = (V1-V2)/Z12 med parallellimpedansen Z12
Parallellt med Z12 ligger Z3 så dom slås ihop.
Nu har jag en ström I parallellt med Z12//Z3 och R1

Strömdelning ger att iR = ((Z12//Z3)/(Z12//Z3+R1)) x (V2-V1)/Z12

Så där har jag ett utryck för iR som funktion av V1 och V2 vilket är en bra start.

Nu ska alltså iR kvadreras och integreras över en hel periodtid och sedan divideras med periodtiden
för att till sist hamna under ett rottecken vilket ger iR rms som funktion av V1 och V2.

Kruxet blir att derivera den funktionen och avgöra vilket V1 och V2 som ger max iR rms.
Jag har 3 variabler att ta hänsyn till, frekvensen hos V1 resp. V2 plus fasen hos V1.

Som jag ser det nu så kan jag alltså reducera iR till (V2-V1) multiplicerat med en impedans.
En sin(wt+a) - sin(wt+b) kan säkert skrivas som något annat.

[4kTRB]

V2 = sin (a)
V1 = sin (b+c)

V2-V1 = sin(a) - sin(b+c)

jag kan inte hitta någon förenkling men jag testade i Wolfram att Laplacetransformera
och då fås

1/(s^2+1) - sin(b+c)/s

alltså a försvinner.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=LT ... %2Bc%29%29

Så om jag nu skriver impedansen på Laplaceform och V2-V1 också på Laplaceform så har jag
ett uttryck för iR på Laplaceform. Då verkar det som om helt plötsligt att iR endast är beroende
av fas och frekvens hos V1. Det verkar skumt. Kanske jag måste Laplacetransformera hela uttrycket
(V2-V1)*Z ?

[blueint]

Skulle man kunna se komplexformen som ett specialfall av laplace som då så att säga löser "allt" ?

[4kTRB]

Om jag sätter s = jw så borde det räcka då i det här fallet bara handlar om frekvens och fas.
Nu har jag iR som funktion av två sinus så den biten är klar.
Nästa steg blir att hitta de två frekvenser plus fas som ger max iR rms.
Det jag funderar på är om jag kan förbise iR rms och enbart kika på iR?
Är iR max så blir också iR rms max?
Fast iR varierar i ett komplicerat mönster och jag är inte så övertygad om att
ett iR topp max innebär ett iR rms max.

Jag tror det handlar om flervariabelanalys här. Man får kika på de tre variablerna
var för sig och sedan slå ihop resultatet.

[4kTRB]

Om jag låter V1-V2 vara en spänning u(t,a,b,m,n) = sin(a*t-m)-sin(b*t-n) så kan den
skrivas som produkten av en sinus och en cosinus

u(t,a,b,m,n) = -2 cos(m/2+n/2-(a t)/2-(b t)/2) sin(m/2-n/2-(a t)/2+(b t)/2)

eller på komplex form

u(t,a,b,m,n) = 1/2 i e^(i m-i a t)-1/2 i e^(-i m+i a t)-1/2 i e^(i n-i b t)+1/2 i e^(-i n+i b t)

n=0

Z är en funktion av jw, Z(jw)

Om jag tar fram u(t,a,b,m,n) ur uttrycket för iRrms så får jag på vägen
ett uttryck för iRrms i kvadrat som en funktion av u(t,a,b,m,n) och Z(jw)
T = 2pi/w där T är periodtiden för den sinusformade strömmen och u(t,a,b,m,n)
a,b och m är de konstanter jag vill ha tag på, hur nu det ska gå till?

[kimmen]

Problemet är ekvivalent med att maximera spänningen mellan noderna A och B.

Om man definierar impedanser
Z1: C1 // L1
Z2: C2 // L2
Z3: R1 // (C3 + L3)

och observerar att nätet är linjärt kan man finna bidragen till V_AB från de olika källorna separat (superposition)

V_AB1 = V1 * Z3/(Z1+Z2+Z3)
V_AB2 = -V2 * Z3/(Z1+Z2+Z3)

sedan kan man dela upp det i två fall:
1. Om båda frekvenserna är lika blir V_AB = V_AB1 + V_AB2 (summa av komplexa amplituder). Bästa fall för amplituden blir då när källorna är 45 grader förskjutna (maximal spänning in, V1-V2)

2. Om frekvenserna är olika kan man använda observationen att tidsintegralen av produkten två sinusvågor med olika frekvens blir 0. Därför blir RMS{v_AB(t)} = sqrt(|V_AB1|^2 + |V_AB2|^2). Alltså spelar fasen ingen roll. Man kommer också att kunna optimera V1 och V2:s frekvenser separat. Välj de frekvenser som ger maximala |V_AB1| och |V_AB2|

I slutändan får man alltså jämföra vilket fall som ger bäst resultat. Fall 1 blir alltså 10 kHz och 45 grader fasförskjutning. Men det är ganska lätt att inse att det inte kan vara optimum eftersom en infinitesimal ändring i frekvensen för ena källan skulle öka RMS-värdet för V_AB kraftigt.

(effektivvärdesskala på de komplexa storheterna)

[psynoise]

Jag är inne på liknande lösning som Kimmen. Dock i redovisningen under tar jag även upp varför problemet är ekvivalent med maximum för den effektivaspänningen mellan nod A och B.

fig1.png

fig2-3k.png

fig3-3k-1.png

Lämpligen borde man kunna använda sig av datorprogram för att finna vilka värden som ger den största effektivspänningen enligt ekvationerna ovan.

[psynoise]

2. Om frekvenserna är olika kan man använda observationen att tidsintegralen av produkten två sinusvågor med olika frekvens blir 0. Därför blir RMS{v_AB(t)} = sqrt(|V_AB1|^2 + |V_AB2|^2). Alltså spelar fasen ingen roll.

Intressant, hänger tyvärr inte riktigt med på detta, kan du utvidga detta eller rekommendera vidare läsning.

[kimmen]

Jag kom på att jag faktiskt skrivit in en härledning i LyX för länge sedan... Den avser rella funktioner i tidsdomänen. För komplexa funktioner kommer det in konjugat och grejer, men verkliga elektriska signaler är ju reella.

För två sinusoider med olika frekvens (eller samma frekvens men 90 grader ur fas) blir den där integralen på slutet, Integral(f*g*dt), noll.

Periodtiden mellan t1 och t0 skall vara periodtiden för f + g, vilket måste vara ett helt antal perioder av både f och g. Är periodtiderna för f och g inte ett rationellt förhållande blir det lite roligt eftersom f + g inte blir periodisk, men låter man integrationstiden gå mot oändligheten funkar det ju ändå.