Problem med Laplacetransform av typen 1 / (e^-sT + 1) (LÖST)

[blueint]

@psynoise, Är dina anteckningar som följande (i LaTeX) ..?

Invers Laplacetransform av fyrkantsvåg

\(X(s) \equiv \frac{1}{s} \frac{1}{1+e^{-s\tau}}\)

där

\(X_1(s) \equiv \frac{1}{1+e^{-s\tau}} = \overbrace{\frac{1-e^{-s\tau}}{1-e^{-s\tau}}}^{=1}\)

\(\qquad = \{konjugatregeln\} = \frac{1}{1-e^{-s2\tau}} (1-e^{-s\tau)\)

\(\frac{1}{1-e^{-s2\tau}}\) innebär periodicitet med perioden \(2\tau\)

medan

\(1 \overset{L^{-1}}{\longleftrightarrow} \delta(t)\)

\(e^{-s\tau} \longleftrightarrow \delta(t-\tau), T\geq0\)

Vidare fås

\(X(s) = \frac{1}{s} X_1(s)\)
\(\overset{L^{-1}}{\longleftrightarrow}\)

\(x(t) = \int \limits_{0^-}^{t} x_1(T) dT\)

=>

\(x_T(t) = \int \limits_{0^-}^{t} \delta(T) - \delta(T-\tau) dT\)


\(= u(t) - u(t-\tau)\)

vilket till sist ger

\(x(t) = \sum_{n=0}^{\infty}x_T(t-n2\tau)\)

[psynoise]

Inte riktigt, jag korrigerar här under samt ändrar några variabel namn då t:na inte räcker till.

På pappersanteckningarna använde jag \(\tau\) för att beskriva pulsernas längd som här blir ersätt av \(t_{0}\). Vidare använde jag kyrilliska t för den sista integralen vilket här får bli \(\tau\) då jag tror extra bibliotek måste laddas för att få tillgång till kyrilliska tecken.

Invers Laplacetransform av fyrkantsvåg

• \(\displaystyle X(s) \equiv \frac{1}{s} \frac{1}{1+e^{-s t_{1}}}\)

där

• \(\displaystyle X_1(s) \equiv \frac{1}{1+e^{-st_{0}}} = \frac{1}{1+e^{-st_{0}}} \overbrace{\frac{1-e^{-st_{0}}}{1-e^{-st_{0}}}}^{=1}\)

• \(\displaystyle \qquad = \{konjugatregeln\} = \frac{1}{1-e^{-s2t_{0}}} (1-e^{-st_{0}})\)

\(\frac{1}{1-e^{-s2t_{0}}}\) innebär periodicitet med perioden \(2t_{0}\) medan

• \(\displaystyle1 \overset{\mathcal{L}^{-1}}{\longleftrightarrow} \delta(t)\)

• \(\displaystyle e^{-st_{0}} \overset{\mathcal{L}^{-1}}{\longleftrightarrow} \delta(t-t_{0}), T\geq0\)

Vidare fås

• \(\displaystyle X(s) = \frac{1}{s} X_1(s)\)

\(\overset{\mathcal{L}^{-1}}{\longleftrightarrow}\)

• \(\displaystyle x(t) = \int \limits_{0^-}^{t} x_1(\tau) d\tau\)

\(\Rightarrow\)

• \(\displaystyle x_T(t) = \int \limits_{0^-}^{t} \delta(\tau) - \delta(\tau-t_{0}) d\tau\)

• \(\displaystyle = u(t) - u(t-t_{0})\)

vilket till sist ger

• \(\displaystyle x(t) = \sum_{n=0}^{\infty}x_T(t-n2t_{0})\)

EDIT: Korrigerad fel uppmärksammat av Snigelen.

EDIT2: Mindre ändring.

[snigelen]

\(\displaystyle X_1(s) \equiv \frac{1}{1+e^{-st_{0}}} = \overbrace{\frac{1-e^{-st_{0}}}{1-e^{-st_{0}}}}^{=1}\)

ska väl vara
\(\displaystyle X_1(s) \equiv \frac{1}{1+e^{-st_{0}}} = \frac{1}{1+e^{-st_{0}}}\cdot \overbrace{\frac{1-e^{-st_{0}}}{1-e^{-st_{0}}}}^{=1}\)

[psynoise]

Tack, felet är nu rättat. Dock hoppade jag över \(\cdot\) som egentligen endast bör användas till skalärprodukt.

[snigelen]

\(\cdot\) som egentligen endast bör användas till skalärprodukt.

Den som sade det till dig har fel. Men det spelar ingen större roll. Var och en gör som hen vill.

[psynoise]

Klart att det är en princip. Den som gav mig tipset är professor i signalbehandling och jag tycker numera likadant att \(\cdot\) mycket väl bör undvikas sålänge det inte blir otydligt utan. I det här fallet finns det ingen anledning att använda multipliceringstecken.