Problem med Laplacetransform av typen 1 / (e^-sT + 1) (LÖST)

[psynoise]

Jag har ett par olika termer av typen

• \(\displaystyle X(s) \equiv \frac {1} {{e}^{-sT} + 1}\)

som jag vill transformera till tidsplanet med hjälp av invers Laplacetransform. Tyvärr hittar jag inget lämpligt transformpar eller egenskap hos Laplacetransform som kan hjälpa mig.

Enligt definitionen för invers transformen fås

• \(\displaystyle x(t) = \lim_{b\rightarrow \infty} \frac{1}{2 \pi j} \intop_{\alpha-jb}^{\alpha+jb} e^{st} X(s) ds\)

Men med tynande kunskaper inom envariabelanalys kan jag inte se hur denna integral kan beräknas. Enklare vore däremot någon lösning utan att behöva beräkna integralen.

Har ni andra någon idé eller tips på hur jag ska gå tillväga?


EDIT:

Lade till "(LÖST)" i rubriken.

[4kTRB]

I vilket sammanhang kommer du fram till den transformen?
Ska T vara en konstant?

[psynoise]

T är konstant.


I grunden är det Laplacetransform från ett pulståg genom ett lågpassfilter. Dock finns fler termer med från ett gigantisk uttryck.

Egentligen gör jag detta för att spara datorberäkningstid då jag redan har transformerat en period som jag sedan använder genom superposition för att titta längre fram i tiden. Dock ökar beräkningar drastiskt med antalet perioder.

Genom att behandla en periodisk signal i s-planet istället hoppas jag på att datorberäkningar skall bli mindre. Däremot blir det mer för min hjärna .

Men i vilket fall som helst skulle jag gärna vilja ha tips då diverse Laplacetransformpar alltid är bra att känna till.

[4kTRB]

U/s * [1-e^(-sx)] / [1 - e^(-sT)]
har jag en kretsanalysbok som beskriver hur Laplacetransformen
av tidsfunktionen f(t) = f(t-n*T) tas fram.

1 - e^(-sT) beskriver periodiciteten och e^(-sx) uppkommer
på grund av tidsfördröjningen innan pulsen avslutas (negativa flanken)
och U/s den positiva flanken.

Fast det är inte riktigt samma som din transform fast nästan.

Kurs i envariabelanalys kanske inte räcker men en bok i komplex analys
kan vara bra om du vill lösa den där inverstransformintegralen.
"contour integration" heter det på engelska.

[Andax]

Det är väl bara en tidsfördröjning med T i tidsdomänen. typ f(t-T) eller liknande.

[4kTRB]

1/[1 + e^(-sT)]

Det verkar som något periodiskt men det är ett +
i stället för minus som mitt exempel.
Kanske är en periodiskt återkommande dirac-spik?

[4kTRB]

1/(1+e^-sT) = 1/(1+e^-sT) x (1-e^-sT)/(1-e^-sT) =

(1-e^-sT)/(1-e^-2sT)

1/(1-e^-2sT) => tidfunktionen kommer vara periodisk med 2T

inverstransformera L^(-1) = {1-e^-sT}

f(t) = diracDelta(t) - diracDelta(t-T)

Så nåt i stil med f(t) upprepad för varje t=2T

Kan det vara rimligt? (hur nu en sån funktion ser ut???)

[psynoise]

Där kanske du har något vilket jag ska titta vidare på senare. Tyvärr är det inte lika enkelt som vanligt fördröjning genom

• \(\displaystyle e^{-Ts} X(s) \longleftrightarrow x(t-T), t > T\)

eller periodicitet

• \(\displaystyle \frac{1}{1-e^{-Ts}}X_{T}(s) \longleftrightarrow f(t+T) = f(t)\)

[Andax]

Jag såg fel... En snarlik: 1/(s(1+exp(-sT)) är ju en fyrkantsvåg med 2T period.

[psynoise]

1/(1+e^-sT) = 1/(1+e^-sT) x (1-e^-sT)/(1-e^-sT) =

(1-e^-sT)/(1-e^-2sT)

Följande har du skrivit

• \(\frac {1}{1+e^{-sT}} = \frac {1}{1+e^{-sT}} \overset{=1}{\overbrace{\frac {1-e^{-sT}}{1-e^{-sT}}}}\)

• \(= \{\text{konjugatregeln}\} = \frac{1-e^{-sT}}{1-e^{-s2T}}\)

där nämnaren \(1-e^{-s2T}\) anger periodicitet med 2T. Termen 1 blir \(\delta(t)\) och termen \(-e^{-sT}\) blir \(-\delta(t-T)\). Precis som ni har skrivit.

Men några konstigheter blir det inte då jag egentligen har faktor \(1/s\) multiplicerat med allt vilket blir integration i tidsplanet som i sin tur gör att \(\delta(t) \longrightarrow 1\).

EDIT:

Förtydligat matematiskt uttryck ytterligare.

[psynoise]

Jag såg fel... En snarlik: 1/(s(1+exp(-sT)) är ju en fyrkantsvåg med 2T period.

Japp vilket stämmer med föregående inlägg som jag ser det.

Jag tackar för alla svar. Nu var det inte så lustigt längre.

[psynoise]

Var tvungen att anteckna detta och lägga i min "signalpärm" . Bifogar anteckningar nedan. Ett tips är att klicka på figurerna för att tydligare kunna läsa.

anteckning_s0001-klippt.png

anteckning_s0002-klippt.png

[4kTRB]

Tack!
Jag har inte helt kontroll på vad du utför för att komma
fram till den där summa-operationen men får väl läsa på.

[psynoise]

Summan är bara min egen definition där flera pulser \(x_{T}\) läggs efter varandra med \(n2\tau\) i tiden för att skapa en periodisk signal.

[snigelen]

\(x_T(t)\) är ett steg vid \(t = 0\) + ett negativt steg vid \(t = \tau\), dvs den är \(1\) mellan \(t = 0\) och \(t = \tau\) och noll för alla andra t.

Då blir \(x_T(t - 2\tau)\) samma signal förskjuten \(2\tau\) åt höger, dvs \(1\) mellan \(2\tau\) och \(2\tau+\tau\) och noll för övriga t.

För att beskriva två pulser i en symmetrisk fyrkanstsvåg med periden \(2\tau\) kan vi lägga ihop dess signaler, eftersom 1-perioderna inte överlappar varandra (och 0 + 0 = 0).

Lägger man till detta \(x_T(t-2\cdot 2\tau)\) får man tre 1-perioder och noll för övrigt.

Summan beskriver alltså en symmetrisk, periodisk fyrkantsvåg från \(t=0\) till evinnerliga tider .

Edit: LaTex konvertering enligt PM //blueint