hjälp med formel för en Oktagon

[emilrowland]

hej jag behöver hjälp och undrar om det finns någon enkel formel för att kunna räkna ut sidorna i en Oktagon om avståndet mellan dom är 1dm.

[snigelen]

Ja. Det är lätt att härleda. Rita upp en noggrant med alla vinklar 90+45 = 135 grader. Sedan kan man se rätvinkliga trianglar i figuren, vars hypotenusa är sqrt(2) gånger längre än katetrarna. Totala bredden på oktagonen (minsta bredden) borde då vara a+2*a/sqrt(2) (kan förenklas), där a är sidlängden.

Var det tillräckligt med hjälp? (Det tar annars inte många sekunder att googla reda på svaret, men det är kanske roligare att göra en del av det själv)

[emilrowland]

tack men jag förstog inte formeln så jätte bra skulle du kunna stopa in mina siffror i den. så kanske jag kan förstå bättre.

[tecno]

Gör som jag, rita upp det i CAD så får du ut siffrorna

[emilrowland]

Ja det går ju ochså men jag skulle gärna villja lära mig en enkel formel för att kuna räkna ut det där.

[snigelen]

Ok, om bredden är S och sidlängden är a så är (sqrt = roten ur)

a*(1+sqrt(2)) = S

eller tvärtom

a = S/(1+sqrt(2))

i ditt fall är S = 1 dm så sidlängden a blir (i dm)

a = 1/(1+sqrt(2)) = 0.4142 dm = 41.42 mm

vilket stämmer med engelska Wikipedia-artikeln, där jag tagit bokstäverna a och S ifrån.

[RobertT]

Ja och om man som jag använder sinussatsen får man ett ungefärligt mått 4,142 cm per sida.
Dela upp oktagonen i åtta lika trianglar och du har vinklarna 45 x 67,5 x 67,5 i varje.
Sinussatsen säger a/sinA = c/sinC som ger
a/sin22,5 = 5/sin67,5 = 2,071067812 cm x 2 = 4,142135624 cm per sida.

http://sv.wikipedia.org/wiki/Sinussatsen

Fast det blir ju inte exakt. Om det är 10cm mellan sidorna i oktagonen blir radien 5,411961001 cm.
Ska du räkna exakt använd radianer 2π(pi) x 5,411961001 / 8 som blir 4,250544231 cm/sida

Edit: Flera gånger rättade formler

[emilrowland]

tack för svaren. de har hjälpt mig mycket.

[snigelen]

Bra att du blev nöjd emilrowland.

Men RobertT, det går ju att räkna ut på flera olika sätt, men naturligtvis kan man få (exakt) rätt resultat med sinussatsen. Resultatet kan ju dessutom inte bero på vilken vinkelenhet man valt. Så lite förtydligande med en figur.

oktagon.png

Den vänstra figuren visar hur jag tänkte. Alla sidor i oktagonen har längden a, detta är även diagonalen i den blå kvadraten jag ritade in. Då måste kvadratens sidor vara a/sqrt(2) (sinus 45 grader är 1/sqrt(2)).

Oktagonens bredd S kan då fås som en sida a plus två sidor av kvadraten, dvs

S = a + 2 * a/sqrt(2) = a + a * sqrt(2) = a*(1 + sqrt(2))

där vi kan lösa ut a som

a = S/(1 + sqrt(2)) ~= 0.4142 * S

Jag tror du har tänkt som i högra figuren. Delar man först in oktagonen i åtta trianglar så har de inre vinkel 360/8 = 45 grader, och därmed de övriga vinklarna (180-45)/2 = 67.5 grader.

Om vi delar den nedre triangeln på mitten och inför mått, med samma a och S som i vänstra figuren får man med sinussatsen (t.ex), lilla triangelns minsta vinkel är 45/2 grader,

sin(45/2) / (a/2) = sin(67.5) / (S/2)

lös ut a så fås

a = S * sin(67.5)/sin(22.5) ~= 0.4142 * S

Det du har fått till 4.25... cm är inte sidan hos oktagonen utan båglängden av det cirkelsegment som går utanför en sida om man ritar in hela oktagonen i en cirkel (så att hörnen tangerar cirkeln).