Beräkna en integral?

[4kTRB]

Jag håller på med min brusguide och ska räkna på ett exempel
med en RLC-krets och har kommit fram till att jag behöver räkna
ut den här integralen:



som är överföringsfunktionen för RLC i parallell matad med en generator med Rg=A. R=B.
Är det möjligtvis någon som kan ge ett litet tips om hur jag bäst går till väga?

Annars blir det till att plöja igenom analysböckerna.

[victor_passe]

http://www.wolframalpha.com/
Kanske kan lösa det åt dig

[4kTRB]

Jag är inte enbart intresserad av svaret jag vill veta tillvägagångsättet.
Men jag ska knappa in den där och se vad det blir. Tack!

[bearing]

Vad är det du undrar?
Hur du ska göra den primitiva funktionen och så vidare?

Det ser ut som att du behöver börja med att partialbråksuppdela (hette det så?) uttrycket. Alltså att se till att nämnarna blir så enkla att de går att hitta i en tabell över primitiva funktioner.

[blueint]

Röstar också på partialbråksuppdelning. Samt på inre primitiv funktion.
Integralen är det enkla egentligen. Laplace transformering för att komma fram till integralen är lurigare

[4kTRB]

Ja partialbråksuppdela kan vara en bra idé kanske.
Det är omega som ställer till en del och gör det krångligt.
Jag kom på att jag kanske kan lösa det enklare med Laplace teknik.
Jag vet inte.

(edit: lite sen med skicka knappen, ja Laplace kanske blir komplicerat)

[SvenW]

Har du provat
http://integrals.wolfram.com/index.jsp
Om inte annat som facit.
Annars är Laplacetransformer en elegant metod för liknande problem, såvida man inte vill förfalla till den breda vägen dvs. simulering.

[4kTRB]

Jag har knappat in den på Wolfram. Om jag ersätter (1+A/B)^2 med
en lämplig konstant och sätter A=L=C=1 så blir svaret en fin multipel av pi.

Vill jag ha med L och C sig blir det genast betydligt krångligare
uttryck med flera arctan-uttryck i resultatet. Inget direkt kul men ofrånkomligt.

Jag har räknat mer på den här RLC-kretsen och det är brusbandbredden
för kopplingen jag vill åt och gärna hur den förhåller sig till -3dB (+/-45grader)
bandbredden. Så därför tog jag fram ett uttryck på överföringsfunktionen där
-3dB -bandbredden ingår. Jag kommer fortfarande inte ifrån de jobbiga uttrycket
med wC och wL men jag ska undersöka det hela mer nu när jag ställt upp hela
uttrycket som jag tror blir enklast att utgå ifrån.




Edit:
underlättar om man räknar rätt också, hittade ett litet fel när jag sammanställde ekvationerna
adderade samtidigt ett alternativt uttryck för brusbandbredden där R ingår (utan att vara dolt i delta w)

Har du provat
http://integrals.wolfram.com/index.jsp
Om inte annat som facit.
Annars är Laplacetransformer en elegant metod för liknande problem, såvida man inte vill förfalla till den breda vägen dvs. simulering.

Den var lättjobbad och snabb!
Fast jag vet inte hur gränser ska sättas, verkar inte som det går.

Edit:
Nu var jag tvungen att räkna på nytt när jag ändrat felet ovan.
Betydligt trevligare resultat, inga imaginära delar och mer
hanterbart när det blir så pass mycket kortare uttryck.
Ska stoppa in värdena jag testade nedan och köra några beräkningar på nytt.



Edit: Räknade en del exempel på nytt och då blir resultatet det samma
som om man räknar på ett RC LP-filter. Jag sökte på nätet om det här
och på ett forum var det någon som trodde sig veta att resultatet skulle
bli det samma för ett RC och ett RLC. Kan stämma om beräkningarna är riktiga!

Jag har varit in på wolframalpha.com och testat med olika -3dB bandbredd
L=1uH, C=1uF och i samtliga fall fås att brusbandbredden är
pi/2 ggr större än -3dB-bandbredden.

Det vore fint att kunna bryta ut det resultatet ur funktionen ovan.


--
Slog ihop tre inlägg...
//Jimmy

[4kTRB]

Nu hittade jag den här integralregeln...

S[1/(a^2+x^2)]dx = 1/a arctan(x/a)

vilket är ganska likt resultatet som integrals.wolfram.com kommer fram till.

Någon som kan ge ett tips baserat på den regeln?

[bearing]

Ja, substitutionsmetoden (tror jag den hette) borde kunna användas för att kunna få nytta av den där integralregeln.

Alltså, sätt till exempel:
s = (w*C + 1/(wL))
k = (1+A/B) / A
(edit: vilket är samma som k = 1/A + 1/B, alltså resistanserna parallellt)

Då borde du få:
(1/A^2) * ∫ 1/(k^2 + s^2) ds

Om jag inte minns fel.

[4kTRB]

Jag ska undersöka variabelbyte och försöka byta w mot delta w.
Men börjar med att testa att få bort 1/w^2 genom att multiplicera
med w^2 i täljare och nämnare. Då kommer jag fram till att jag
måste lösa en integral av en rationell funktion men nackdelen då
blir att jag har både delta w och w i resultatet. Det vore snyggast
att få pi/2*delta w som resultat.

[4kTRB]

Att lösa integralen skriven på rationellt vis verkar vara något för de mer erfarna matematikerna
efter att jag undersökt det lite närmare.

Så jag testade med variabelbyte och använde tan-funktion. Det blev en del bläddrande i analysböckerna
och ett antal A4 innan jag tror mig kommit fram till lösningen. Wolfram är också bra att ha till hands
när man prövar olika saker.

Jag nu är jag inte lika kall i matematik-kläderna som innan. Faktiskt riktigt kul att dyka ner i analysen
och återuppliva minnen från skolbänken.

Sista integralen försvinner och blir noll om man byter variabler, tex u = sqrt(t^2+M) alltså tan(x)=t,
gränserna för den integralen blir då lika i båda ändar, infinity. Resultatet blir det förväntade!

Tackar för alla tips!