Hur lösa ekvation?

[4kTRB]

Mina mattekunskaper är lite rostiga för tillfället och hur tusan ska jag
lösa den här ekvationen?

2ydx + xdy = 0

Att det är en differentialekvation står helt klart och den ser ju inte så hemskt avancerad ut.

[supdel]

Separabel diff ekv.

flytta x dy till högleder, dividera med x och sedan 2y, så får du -dx (1/x) = dy (1/2y)

integrering ger

y= ( e^( ( ln 1/x) + C ) )^2 = e^ ( ( ln (1/x)^2 + C^2)) där det är den allmänna lösningen.

För att bestämma konstanten C behöver du randvillkor, t.ex. y(0)=0

Nån får gärna rätta mig om det är fel

[4kTRB]

Då kan jag alltså också skriva...

(2/x)dx + (1/y)dy = 0 och integrera varje uttryck för sig?

[4kTRB]

Integralen av 2(dx/x) = 2lnx = ln(x^2)
Integralen av dy/y = lny

Lösning: ln(x^2) + lny = konstant ?

Vad blev fel nu?

[pyne]

Om x != 0 kan man skriva om ekvationen (dividera med x*dx) som

y' + 2y/x = 0

där vi kallar g(x)=2/x. G(x) = 2ln|x| är primitiv funktion till g(x).

Multiplicera med integrerande faktor e^G(x) = e^(2ln|x|) = |x|^2 = x^2

e^G(x)y' + e^G(x)*2y/x = 0
<=>
(e^G(x)y)' = 0
<=>
e^G(x)y = C
<=>
x^2*y = C
<=>
y = C / x^2

Detta ger y' = -2C/x^3 och alltså y' + 2y/x = 0

Det går självklart även lösa som en separabel ekvation.

[4kTRB]

Om jag ser det som en separabel ekv. så ska jag få samma
resultat:

ln(x^2) + lny = K

lny = K - ln(x^2)

y = e^(K - ln(x^2))

y = e^K / e^(ln(x^2))

y = C / x^2



Tackar så hemskt mycket för dessa ledtrådar!

[pyne]

Ska man vara petig så är ln |y| (logaritmen av absolutbeloppet) en primitiv funktion till 1/y. Du får därför

y = (+-)e^(K - ln(x^2))

Annars skulle C i sista raden bara gälla för positiva C (ty C=e^K > 0 för alla reella K), och du har tappat bort hälften av alla lösningar.

[4kTRB]

Villkoret för x måste också vara x!=0 annars blir y oändligt
och dessutom går det inte med ln0 precis som du helt riktigt skrev.

ln(x^2) + ln|y| = K

Ex.
y = -2
x = 3
K = ln9 + ln2 = ln18
C = e^K
y = C/ e^(ln(x^2)) = 18/9 = 2

y = 2
x = 3
K = ln9 + ln2 = ln18
C = e^K
y = C/ e^(ln(x^2)) = 18/9 = 2

Hur kan C bli negativt?
e^K kan väl aldrig bli negativt?

[4kTRB]

K kan vara ett imaginärt tal måste det vara.

[pyne]

Om x = 0 så får vi lösningen y = 0. Detta ses direkt i din ursprungliga ekvation.

Om x != 0 så fås

y(x) = C / x^2
y'(x) = -2C / x^3

Om till exempel C = -1 så blir y = -1 / x^2, y' = 2 / x^3
y' + 2y/x = 2/x^3 -2/x^3 = 0

Alltså, negativa C löser också din ekvation.

I ditt exempel börjar du med y = -2 och slutar med y = 2, det är inte rimligt. Det korrekta är
ln |y| = K - ln(x^2)
<=>
|y| = e^(K - ln(x^2))
<=>
y = (+-)e^(K - ln(x^2)) <--- plus eller minus

[4kTRB]

Den uppställningen gör det hela solklart även om det inte går att
sätta x=0 i ekv. y = (+-)e^(K - ln(x^2))

I ekv. 2ydx + xdy = 0 går det bra att ha x=0,
2ydx = 0 => y = 0

dy/dx = -2y/x

C = -2
x=3
y = -2/9
2*(-2/9)dx + 3dy = 0
dy/dx = -(-4/9)/3 = 4/27