Matematik problem, naturliga logaritmen/ekvationslösning

[DeVille]

Tjenare!

Har en god vän som fått följande problem från en online kurs i matematik.
Hon vill ha min hjälp att lösa det och förklara lösningen. När man matar in svaret i online kursen så säger den att bara ett av två svar är rätt. Vet inte vilket svar som är rätt.

Följande är problemet:
Följande funktion beskriver halveringstiden hos ett radioaktivt ämne:
M(t)=51 *e^(-t/199),
efter hur lång tid är mängden ämne 1/10 av ursprungsmängden? Svaret kan skrivas som t=a*ln(b)
Vad är a samt b? a och b skall vara heltal samt a skilt från noll



Följande är min lösning:

1/10=51*e^(-t/199)
(1/10)/51=(51*e^(-t/199)) / 51
1/510=e^(-t/199)
(1/510)*510=510*e^(-t/199)
1=510*e^(-t/199)
ln(1)=ln(510*e^(-t/199))

**
ln(1)=0
Logartimlagarna:
Log(A*B)=log(A)+log(B)
**

Detta ger
0=ln(510)+ln(e^(-t/199))
0=ln(510)+(-t/199)
0=ln(510)-(t/199)
t/199=ln(510)-(t/199)+(t/199)
t/199=ln(510)
199*(t/199)=199*ln(510)
t=199*ln(510)

a=199
b=510

Om man använder ekvationslösaren på min räknare för att lösa ut t ur
1/10=51*e^(-t/199)
så får man t=1240.64773442

Detsamma blir t om man använder a samt b

Hoppas ni kan hjälpa till här!

/DeVille

[bearing]

Felet du gjort är att räkna med värdet 1/10, det ska vara 1/10 av M(0), vilket är 5.1.

Du ska alltså lösa ekvationen M(t) = M(0)/10 vilket borde vara samma som lösningen på ekvationen 0.1 = e^(-t/199)

[DeVille]

Jahaaa.. okej. ska prova med det.

[hcb]

Jag är inte helt säker på vad det är du frågar efter, men så här hade jag löst det.
Eftersom sönderfallets hastighet kan beskrivas som en exponentialfunktion gäller att

Kod: Markera allt

M=M0 exp(-t/tau)

där M0 är initialhalten och tau är tidskonstanten för sönderfallet (51 resp. 199 i uppgiften).

Kod: Markera allt

ln (M(t) / M(0))  = ln ((M0 exp(-t/tau) / (M0 exp(-0/tau))
ln (M(t) / M(0)) = ln exp (-t/tau)
ln (M(t) / M(0)) =  -t/tau 
t = -tau ln( M(t) / M(0))

Med uppgiftens värden:

t = -199 ln 0.1
t= 458 tidsenheter

a=199 tidsenheter, b=0.1 (dimensionslöst)

Edit: Uppgiften är slarvigt konstruerad eftersom den saknar enheter ...

[DeVille]

Ja då blir det väl såhär?

5,1=51*e^(-t/199)

ln(5,1/51)=-t/199

ln(5,1/51)*199 = t

199*ln(0,1)=t

a=199
b=0,1
t=458 tidsenheter

Tackar för hjälpen, hoppas hennes nästa kapitel blir nåt som man använder oftare än log funktioner :-D

*Edit*
hcb hann visst före. Uppgiften är konstruerad av nån på Chalmers för online kursen kommer därifrån.

[arvidb]

Jag kom fram till samma sak (a=-199, b=0,1), men då är uppgiften felkonstruerad eftersom b inte är ett heltal.

[joharohl]

Du vill veta t när det är en tiondel av det ursprungliga. detta ger följande ekvation:

51/10 = 51*exp(-t/199)
1/10 = exp(-t/199)
ln(1/10) = -t/199
-ln(10) = -t/199 ( ln(1/10) = ln(1) - ln(10) = ln(10) ty ln(1) = 0 )
t = 199*ln(10)

done...

edit: såg de tidigare lite bättre nu. ln(0.1) = -ln(10) så svaren stämmer fint. Visar bara att uppgiten är korkat konstruerad. Inte vidare smart att kunna få ett helt korrekt svar som inte passar med svarsformen. Dom skulle bara frågat efter t, ingen möjlighet till förvirring då.