Överföringsfunktion - har jag rätt här? (lågpassfilter)

[Jennie]

Hej! Skulle vara grymt uppskattat med lite hjälp här.

Har uppgiften och min lösning i bilden här:



Så undrar bara ifall jag har gjort rätt. Försökte följa ett annat exempel jag såg bara och det är så dåligt skrivit i min studiebok så jag är väldigt osäker. Men jag skulle uppskatta ifall någon kunde säga ifall jag har gjort det hela korrekt här. Jag är också själv osäker på varför/hur man tar fram de där "s:en" i steg 1 när man ska göra Laplacetransform av det hela?

Ifall jag har gjort rätt här det vill säga (följde ju i princip bara ett annat exempel i min bok).

[snigelen]

Nu är jag lite rostig på det här, men den givna differentialekvationen kan inte vara rätt eftersom det inte är samma enheter på termerna (man kan inte ha volt/sekund^2 + volt = volt).

Men ditt svar blir ändå fel. Tidsderivata motsvaras av multiplikation med s men du har multiplicerat med s på två ställen (men inte där du har en derivata).

Vill man bara komma fram till rätt svar så blir det nog enklast med spänningsdelning med de transformerade impedanserna R över 1/(sC).

[Krille Krokodil]

Vin=u
Vut=y

Strömmen genom C och R är Cy', spänningen över R är RCy', ekvationen blir RCy' = u - y,
RCYs - y(0) + Y = U => H(s) = 1/(RCs + 1).

[Foxton]

H(s) = Vu(s) / Vi(s) = (1/sC) / (R + (1/sC))

Multiplicerar med sC i täljare och nämnare och får överföringsfunktionen

H(s) = 1 / sRC + 1

Vilket redan har visats av tidigare inlägg, det här är min approach iaf

[arvidb]

Jag ansluter mig till föregående talare.

\(1 F = 1 A \cdot s \cdot V^{-1}\)
och
\(1 \Omega = 1 V \cdot A^{-1}\)
d.v.s.
\(R \cdot C\) har enheten 1 sekund. \(\frac{1}{RC} \cdot v^\prime_{ud}(t)\) har då enheten \(V/s^2\) vilket inte kan stämma. Dock verkar det bli rätt om man antar att det ska se ut så här istället:

\(RC \cdot v^\prime_{ud}(t) + v_{ud}(t) = v_{in}(t)\).

Sedan är det nog meningen att du ska använda \(\mathcal{L}\{f^\prime(t)\} = s\mathcal{L}\{f(t)\} + f(0)\).

Jag får då också svaret till \(H(s) = \frac{1}{1+RCs}\).


Jag kan rekommendera Khan Academys Youtube-filmer om Laplacetransformationen. Jag spenderade en timme med dem igår för att fräscha upp minnet. Där säger de också att det är svårt att hitta någon intuitiv betydelse av s, i alla fall vad gäller lösning av diffekvationer. Då är det bättre att se Laplacetransformationen som ett användbart verktyg bara. "Man kan göra så, och det är effektivt", typ.

[qx5]

Vad är "s" då?

[Nerre]

s är ett komplext tal, det är evigheter sen jag höll på med sånt där men jag vill minnas att man kan se s som "frekvens och fasläge" (fast det är kanske mer för Fourier-transformen som det är så?).

Transformen ändrar ju funktionen från tids-domänen till s-domänen.

[Castello]

s = a +jw, där a är signalens amplitud och w dess vinkelfrekvens (rad/s). Alla signaler kan beskrivas som superposition av sinuskurvor, där varje enskild komponent av signalen har en amplitud och en frekvens. Vanligtvis i ellära tänker man sig bara att man har en sådan komponent, det vill säga en sinusformad signal in i systemet. Den här signalen karakteriseras av s =a+jw, dvs signalens amplitud och vinkelfrekvens.

Ett filters överföringsfunktion beskriver hur systemet reagerar på insignaler med olika frekvens och amplitud, eller s, och plottar man denna funktion i en log-log-plot får man bodediagrammet för systemet.

[qx5]

Det kluriga är att "s" tillkommer vid laplace transformen. Man kan ju tycka att den skulle behöva bestämas att ha ett specifikt värde.

[snigelen]

s = a +jw, där a är signalens amplitud och w dess vinkelfrekvens (rad/s).

Jag är för visso rostig, men nej, a är inte amplitud. Vill man ha frekvenssvar för odämpade sinusar sätter man ju a till noll.

[Krille Krokodil]

Rötterna till överföringsfunktionens nämnarpolynom ger en hint om lösningen, om reell rot a så finns ett
e^at i lösningen, om komplexkonjugat (a+bi)(a-bi) så finns ett e^at * sin (bt+c) i lösningen. Därför man
inte vill ha positiva realdelar i rötterna till ett system, då finns där en växande e^at som skickar utsignalen
mot molnen.

[Castello]

Just det, så var det ju! Man säger väl att Re(s)<a för att systemet skall vara stabilt? Det är ett sätt att säga att ett filter som får in en signal av en viss frekvens se till att den dämpas över tid, annars kommer filtret självsvänga och "gå sönder"
Fouriertransformen är ju Laplacetransformen evaluerad på imaginäraxeln, dvs, för a=0, så bekymren med konvergens finns inte där.

[4kTRB]

Det fina är ju att du kan multiplicera H(s) med en godtycklig
signal som du har Laplacetransformen för och resultatet
blir utsignalen.

Tex. en ramp som insignal har Laplacetransformen 1/s^2 som du multiplicerar med 1/(1+sRC)

= 1/(s^2 + s^3RC) som då blir utsignalen!

Och inverstransformerar du så fås tidsfunktionen:

u(t) = R*C*e^(-t/RC)-R*C+t

[Nerre]

Det är såna där saker som jag tycker är nästan "magi" med en del matematik:)

[4kTRB]

När man räknar på elkretsar så ska man egentligen ta hänsyn
till begynnelsevärden.

Den här bilden på Wiki visar hur man kan rita schemat: