Svenska ElektronikForumet

Vad blir vinkeln beta mellan planen i bilden?
Om jag tänker mig två träskivor och vill stärka upp
skarven med en list så måste den vara sågad i rätt vinkel för att ligga an mot ytorna.

120 grader

Hur kom du fram till det? Att det är 45 grader i bilden är bara ett exempel.

45 som det är ritat är väl egentligen 90+45?

Två romber som är lika som är monterade 90 grader i vinkel kan man säga

Vektorer kan vara lösningen?

Ja, ta fram normalerna till planen och beräkna vinkeln mellan dem. Sedan gå från vinkel mellan normaler till vinkel mellan plan.

Och då blir det 120 grader i bilden?

Med reservation för att det går snabbt nu så är normalerna (1,0,1) och (0,1,1), deras produkt är då 1 alternativt sqrt(2)*sqrt(2)*cos(v), så v=60 grader. Mellan planen 180-60=120 grader.

Jag får leta fram linjär algebra boken och fräscha upp minnet angående normal vektorer. Finns det någon programvara där ja kan rita upp skivorna och få vinkeln utan att behöva räkna? Hawkan fick 120 grader på något annat sätt?

Valfritt 3D-CAD.

Ett enkelt helst då utan miljoner med finesser.

Tog en liten övning för att få fram en ytas ekvation, var ju inte igår precis som jag räknade på sånt här.
Ett plan ska vara bestämt av en punkt (x1,y1,z1) och en normalvektor (a,b,c).
En punkt (x,y,z) ligger i planet endast om vektorn r=(x-x1,y-y1,z-z1) är ortogonal
mot normalvektorn och kan skrivas som

a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1) = 0

Om planet lutar 45 grader bakåt som i figuren så är normalvektorn vinkelrät mot planet
och pekar 45 grader snett uppåt mellan z- och x-axeln då ser man lätt att den får
koordinaterna (1,0,1) vid pilspetsen.

Sedan väljer man en punkt (x1,y1,z1) i planet (-2,0,2) exempelvis, vilket är lätt att se
då planet lutar 45 grader bakåt.

1(x+2)+0(y-0)+1(z-2) = 0
x+2+z-2 = 0
x+z = 0 som då ska vara planets ekvation.

En punkt i planet (x,y,z) borde kunna vara (-1,1,1)

Testar man så fås 1(-1+2)+0(1-0)+1(1-2) = 1-1 = 0 vilket visar att vektorn r är ortogonal mot normalvektorn.

På samma sätt resonerar man om det röda planet i figuren.
Normalvektorn blir (0,1,1)

0(x-x1)+0(y-y1)+1(z-z1) = 0

x1 spelar ingen roll och kan väljas godtyckligt

Planets ekvation blir y+z = 0

y+z = y1+z1 = 0

Välj exempelvis y1 =-5 => z1 = 5 och x1 = 3

En punkt i planet är då (3,-5,5)


Nu när det finns 2 stycken normalvektorer så ska det gå beräkna vinkeln mellan dessa.

En vektors längd ges av sqrt(x^2+y^2+z^2)

Så normalvektorerna har längden
n1 = sqrt(1^2+0^2+1^2) = sqrt(2)
och
n2 = sqrt(0^2+1^2+1^2) = sqrt(2)

Man kan skriva att skalärprodukten n1n2 = n1n2cos(v)

(1*0+0*1+1*1) = sqrt(2)sqrt(2)cos(v)

1 = 2cos(v) => v = 60 grader

och det ser man om man förbinder pilspetsarna med en linje
det blir en liksidig triangel med 60 graders vinklar.

Snyggt! Då har du också en metod som fungerar för vilka vinklar och plan som helst i framtiden.