Svenska ElektronikForumet

Det blev ju, ursäkta uttrycket, jävligt enkelt

Och ärligt talat är en (sinusial=stationär?) signal skriven på följande sätt

\(u(t)=Ae^{jwt}\)

så bra att man tom löser diffekvationer med den (pga Fourier-analysen kan man sedan alltid använda detta på godtyckligt formad periodisk signal).

Men ärligt talat, vad vi har diskuterat är en utveckling as sin^3(wt) och sinus kan beskrivas med Eulers formler som

\(sin(wt)=\frac{e^{jwt}-e^{-jwt}}{2j}\)

om jag minns rätt, och denna är lite svårare att "kubera"

Fast det är klart, går man från godtyckligt (Taylor-)polynom och därmed funktion och tar x^3 samt sätter in x=e^{jwt} (och tar imaginär-delen) så får man, med din förklaring, ju precis samma sak som jag så mödosamt räknat ut.

Att man kan ta imaginär-delen har, för nytillkomna lyssnare, med detta att göra:

\(e^{jwt}=cos(wt)+jsin(wt)\)

MVH/Roger
PS
Här förstår jag dock inte vad du menar "...Eulers knäckformel knäckte mig!"

En valfri periodisk signal kan ju skrivas

\(u(t) = A_1 e^{j w_1 t} + A_2 e^{j w_2 t} + A_3 e^{j w_3 t} ...\)

Observera att nu har jag inte specificerat att termerna skulle vara övertoner, de olika vinkelfrekvenserna kan vara vad som helst.

Hade jag skrivit

\(u(t) = A_1 e^{j w t} + A_2 e^{j 3 w t} + A_3 e^{j 5 w t} ...\)

så hade det varit en fyrkantvåg.

Och vips blev allting så mycket enklare

MVH/Roger
PS
Jag har aldrig sett en godtycklig periodisk signal eller speciellt en fyrkantvåg med den beskrivningen du anger, det har alltid varit med (udda) rena sinus-uttryck. Varför håller man överhuvudtaget på med det idag?

De udda övertonerna är så som du beskriver en fyrkantvåg. Det är antagligen därför man ser den så ofta. Och sen anges den som sinus-funktioner eftersom det för gemene man blir för krångligt annars.

Uttryck två behöver inte nödvändigtvis vara en fyrkantsvåg, det beror helt på koefficienterna An..

Och för att representera en signal (av oändlig längd) med en komplex fourier-serie behöver du inte bara de positiva termerna utan också de negativa dvs

\($u(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}{A_n e^{j n \omega t}}$\)

"Här förstår jag dock inte vad du menar "...Eulers knäckformel knäckte mig!"

den som läst hållfasthet, balkteori och Eulers olika knäckfall - förstår ordeleken

den kursen brukar sätta spår för livet hos teknologer som läser detta

Euler var verkligen en riktig matte-Geni

Exakt så. Eulers knäckformler ser enkla ut men är inte helt lätta att förstå och härleda!

Okej, då är frågan mer vad en knäckformel är för något.

För typ 25 år sedan läste jag faktiskt lite hållfasthetslära och balkteori men inte fasen kommer jag ihåg nån Eulers knäckformel.

Å andra sidan är det mycket jag inte kommer ihåg, se bara hur jag fick tampas med sin^3(x) och då tog jag ändå till min matematiska formelsamling...

Det är skrämmande vad mycket jag har glömt.

MVH/Roger
PS
Kommer ihåg att dessa kurser i hållfasthet och balkteori var bland det tråkigaste jag nånsin läst, kanske därför jag förträngt det

thebolt skrev:Uttryck två behöver inte nödvändigtvis vara en fyrkantsvåg, det beror helt på koefficienterna An..

Jag tror vi redan konstaterat att An fladdrar för godtycklig signal.

Vänta nu här, jag vill backa lite.

Taylor-koefficienterna fladdrar för godtycklig signal när variabeln är en periodisk funktion, eller hur?

Taylor-termerna kan tom stundtals vara enbart jämna, enbart udda eller både och, verkar det som (i alla fall ena stunden bara udda nästa både och, har jag bevisat ovan för sin(x)).

Som variabel har vi sedan, i ett rent Taylor-polynom av tredje graden, stoppat in x=e^jwt som vi kuberat och därefter räknat ut att det blir e^j3wt.

Då kan en godtycklig funktion uppenbarligen skrivas som Nerres no1, det är bara en vidareutveckling av "min" Taylor.

Och för att representera en signal (av oändlig längd) med en komplex fourier-serie behöver du inte bara de positiva termerna utan också de negativa dvs
\($u(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}{A_n e^{j n \omega t}}$\)

Låter akademiskt för vadå "av oändlig längd"?

Det är lite intressant ändå att om man delar u(t) ovan med 2j samtidigt som

\(A_{-n}=-A_n\)

så är man tillbaka till Eulers originalformel för sin(wt) dvs

\(A_nsin(wnt)=\frac{A_ne^{jwnt}-A_ne^{-jwnt}}{2j}\)

Samtidigt kan jag tycka att enbart en enda "positiv ton"

\(Ae^{jwt}\)

där man i regel selekterar Imaginärdelen täcker mycket och kan användas till mycket inklusive att bara hänga på en i rummet uttryckt våg (tror man sedan multiplicerar e^-jkz med e^jwt, så får man hur vågen rör sig i z-led vid varje tidpunkt) som till stationära, som jag kallar det när det är sinusiala oscillationer inblandade, diffekvationslösningar.

Allt detta samtidigt som formeln är grunden för jw-metoden då en derivering map tid blir jw gånger samma formel, ni har väl hört talas om att spänningen en induktans inducerar är

\(U=-LdI/dt\)

vilket om

\(I=I_0e^{jwt}\)

innebär att

\(U=-jwLI_0e^{jwt}=-jwLI\)

dvs en reaktans U/I på

\(X_c=-jwL\)

hmm, jag får teckenfel

Ditt uttryck, thebolt, komplicerar bara saken i onödan, det må vara riktigt och är intressant men är kanske en av anledningarna till varför gemene man inte tar till sig komplexa tal.

MVH/Roger
PS
Jag har flummat lite i detta inlägg, vänligen ta det med en nypa salt

thebolt skrev:Uttryck två behöver inte nödvändigtvis vara en fyrkantsvåg, det beror helt på koefficienterna An..

Och för att representera en signal (av oändlig längd) med en komplex fourier-serie behöver du inte bara de positiva termerna utan också de negativa dvs

\($u(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}{A_n e^{j n \omega t}}$\)

Idag har jag funderat på om inte

\(|A_{-n}|=|A_n|\)

gäller ty detta skulle ge cosinus och sinus enligt

\(A_ncos(nwt)=\frac{A_ne^{jwnt}+A_{-n}e^{-jwnt}}{2}=A_n\frac{e^{jwnt}+e^{-jwnt}}{2}\)

dvs

\(A_{-n}=A_n\)

respektive

\(A_nsin(nwt)=\frac{A_ne^{jwnt}+A_{-n}e^{-jwnt}}{2j}=A_n\frac{e^{jwnt}-e^{-jwnt}}{2j}\)

dvs

\(A_{-n}=-A_n\)

An har alltså samma "spegelvända" belopp men kan ha olika tecken ty vi kan inte ha annat än cosinus eller sinus.

Om detta är sant så behöver vi bara räkna med positiva An (för vi känner dom negativa).

MVH/Roger

Du har nästan rätt.. Förhållandet är

\($A_{-n} = A_n^*\)

Dvs komplex-konjugering. Du måste hålla reda på att du i sinus-fallet har divsion med 2j, så An kan/måste vara komplex beroende på om det är cos-serie eller sin-serie. Dock, det innebär inte att du bara kan räkna med de positiva termerna. Du får skilja på om du använder en reell fourier-serie eller en komplex sådan. Den reella fourier-serien har enbart positiva n men du har (eventuellt) en fas-förskjutning i varje term, komplexa både positiva och negativa n (och komplexa An).. och i slutändan är de såklart samma sak.

Sen rörande "oändlig längd" är ett annat sätt att säga "stationär signal", dvs att det rör sig om steady-state. Dessutom finns ju kravet att det ska vara en periodisk signal. En signal som börjar vid en given tid är ju inte (oändligt) periodisk, och kan därför inte beskrivas på detta sätt.

thebolt skrev:Du har nästan rätt.. Förhållandet är

\($A_{-n} = A_n^*\)

Dvs komplex-konjugering.

Nu ska vi se här, konjugat vet jag vad det är för nåt, enkelt exempel:

B=a+jb

ger

B*=a-jb

om jag minns rätt, fast nån allmän ändring på tecknet hos beloppet (An eller B i detta fallet) blir det ju inte, bara imaginärdelen ändras och då får jag inte riktigt ihop det med mitt sin/cos-resonemang.

Du måste hålla reda på att du i sinus-fallet har divsion med 2j, så An kan/måste vara komplex beroende på om det är cos-serie eller sin-serie.

Intressant iaktagelse, iom att det i sin-fallet delas med 2j så MÅSTE An vara komplex omm An/2j ska vara reell. Men sinus har ju redan An som amplitud dvs är ju redan definierad som An/2j, typ. Komplex An skulle ju bara innebära att An/2j eventuellt är reell dvs att vi övergår i cosinus.

Dock, det innebär inte att du bara kan räkna med de positiva termerna. Du får skilja på om du använder en reell fourier-serie eller en komplex sådan. Den reella fourier-serien har enbart positiva n men du har (eventuellt) en fas-förskjutning i varje term

Här gissar jag vilt, känns inte som komplexa koefficienter överhuvudtaget är nödvändiga. Dom fyller i så fall endast en funktion: fasförsjutningen ligger inte i exponenten utan i de komplexa An.

komplexa både positiva och negativa n (och komplexa An).. och i slutändan är de såklart samma sak.

Vad säger du här? "Komplexa både positiva och negativa n", undrar hur den summaformeln ser ut

Sen rörande "oändlig längd" är ett annat sätt att säga "stationär signal", dvs att det rör sig om steady-state. Dessutom finns ju kravet att det ska vara en periodisk signal.

Mitt namn på en periodisk signal är alltså riktig? Fick f.ö smäll på fingrarna när jag skrev en artikel i Wikipedia där jag kallade en sinusformad periodisk signal för "stationär".

En signal som börjar vid en given tid är ju inte (oändligt) periodisk, och kan därför inte beskrivas på detta sätt.

Akademiskt.

Jag tackar för detta trevliga och uttömmande svar!

MVH/Roger
PS
Jag förtydligar mitt resonemang kring att komplexa koefficienter inte behövs (de kan lika gärna bakas in som fasvinkel) dvs hela det akademiska resonemanget kring komplexa koefficienter kan skrotas, säger jag lite vågat

\(A_ne^{(jwnt+j\alpha)}=A_n[cos(\alpha)+jsin(\alpha)]e^{jnwt}=A_n^*e^{jnwt}\)

Där An* bara markerar komplex koefficient. Intressant är att trigonometriska ettan säger att An och An* faktiskt har samma belopp.

Bifogar en intressant bild som visar hur trioder respektive pentoder klipper en signal.

Man ser att vid asymmetriskt klipp (triod) så genereras jämna övertoner medans vid symmetriskt klipp (pentod) så genereras udda övertoner.

Alla som har mätt på utgången hos en Push-Pull förstärkare (med utgångstrafo) känner igen klippet för pentoder, med andra ord så är det precis som vi ovan redan räknat ut att de enda typen av övertoner vid PP-klipp är udda, jämna cancelleras.

Sen har lillahuset varit bussig och FFT-analyserat en halvledarklippt (komplementärt utgångssteg och då naturligtvis utan utgångstrafo) signal som jag spelat in, ut kommer tydligen i det närmaste lika mycket udda som jämna övertoner (i alla fall vad gäller dom första och starkaste) och det är förmodligen därför det låter så illa vid överstyrning hos komplementära transistorsteg.

Lite konstigt egentligen för det sägs ju allmänt att jämna övertoner låter bättre än udda, men i det här fallet tycks det inte stämma för "alla" vet ju hur mysigt en utgångstrafobestyckad PP-förstärkare låter vid överstyrning.

I vilket fall bifogar jag äntligen härmed en bild från en bok av Gunnar Markesjö (Elektronrörsförstärkare, 1962) som tydligt visar hur olika trioder respektive pentoder klipper.

MVH/Roger

Mycket matematik.
flera olika fall finns
A utan motkoppling
B med motkoppling
C klass AB1(kondensatorkoppling mellan stegen)
D klass AB2 direktkoppling
E klass AB2 transformatorkoppling mellan förstärkarstegen.
Vid överstyrning(klippning) sker en ändring av arbetspunken vid klass AB1. Denna ändring tar en viss tid att återställa. Vid klass AB2 är arbetspunkten stabil efter överstyrning.
Kom ihåg att en symmetrisk push-pullförstärkare ger aldrig jämna över toner vid klippning.

alexanderson skrev: Kom ihåg att en symmetrisk push-pullförstärkare ger aldrig jämna över toner vid klippning.

Det riktigt intressanta är att detta inte tycks bero på typ av aktiv komponent utan enbart bero på användningen av utgångstrafo.

Dvs Push-Pull förstärkare med halvledare tycks funka lika bra.

MVH/Roger