Svenska ElektronikForumet

Hej!

Har suttit och klurat på en uppgift här och jag kommer inget längre nu, den skiljer sig lite från andra uppgifter som jag hållit på med Fourierserierna och kommer inte framåt. Så det skulle uppskattas med lite hjälp här!

Uppgiften finns här på bilden:


Stort tack på förhand! Vore evigt tacksam

a0 är enkel då den helt enkelt är d.

Många lager damm har hunnit lägga sig på mina transformkunskaper men vi gör ett försök...

Perioden är 2 och vågformen är centrerad runt 0, därför förenklar jag för mig själv och mitt TeXande och använder gränserna -1 till 1 rakt av. Byt ut mot -P/2 till P/2 eller liknande om så önskas.

Jag är lite ovan vid uppgiftens nomenklatur (brukar man inte låta F(t) = a0/2 + sum(...) för att kunna inkludera även n=0 i nedanstående formel för a_n?), men vi definierar i alla fall Fourierkoefficienterna som:
\({a_n} = (1/2) \int_{-1}^1 \! F(t) \, dt \, \,(n = 0)\)

\({a_n} = \int_{-1}^1 \! F(t) cos({\pi n t}) \, dt \, \,(n > 0)\)

\({b_n} = \int_{-1}^1 \! F(t) sin({\pi n t}) \, dt \, \, (n > 0)\)


Vidare kan vi stycka upp F(t) till:
\(F(t) = \begin{cases} 0, & -1 < t < -d \\ 1, & -d < t < d \\ 0, & d < t < 1 \end{cases}\)

Vilket ger att:
\({a_0} = (1/2) \int_{-d}^d \! 1 \, dt = 2d/2 = d\)

\({a_n} = \int_{-1}^1 \! F(t) cos({\pi n t}) \, dt\)

\(= \int_{-d}^d \! 1 \, cos({\pi n t}) \, dt\)

\(= [sin(\pi n d) - sin(-\pi n d)]/(\pi n)\)

\(= 2 sin(\pi n d)/(\pi n) \, \, \text{för} (n > 0)\)

Och på samma sätt fås \({b_n} = 0\) för alla n>0. Detta lämnas som en övning till läsaren

(Edit: Rättade till uträkningen av a_0)

Tack så mycket, det gick fint !