Svenska ElektronikForumet

Hej alla glada!

Jag har dessvärre fastnat och kommer inte vidare i min uträkning på en uppgift jag har från universitet och skulle behöva lite hjälp att komma igång här.

Uppgift: Lös differensekvationen med hjälp av Z-transformen och de givna villkoren.

y[k + 2] + 4 y[k + 1] + 4 y[k] = 0;
y[0] = 1;
y[1] = 5:

Min lösning:

Så innan jag börjar så tänkte jag bara att jag skriver här att jag tänker använda det s.k. "first shift theorem" och sen skriva om Z{y[k]} till Y(z) för att göra det enklare. Alltså:

First shift theorem:
y[k+2] =z^2Y(z) - z^2*y[0] - z*y[1]
y[k+1] =zY(z) - z*y[0]

och Y(z)=Z{y[k]}

START:
1. Jag gör Z-transform av varje term både i HL och VL:

Z{y[k+2] + 4*Z{y[k+1]} + 4*Z{y[k]} = 0

2. Använder nu "first shift theorem" och skriver om till Y(z) istället:

z^2*Y(z) - z^(2) * y[0] - z*y[1] + 4*Y(z) - z*y[0] + 4*Y(z) = 0

3. Tänker på begynnelsevärdena som sa att y[0] = 1 och y[1] = 5 och stoppar in det istället:

z^2*Y(z) - z^2 - 5z + 4*Y(z) - z + 4*Y(z) = 0

4. Räknar vidare och isolerar Y(z) lite:

(z^2 - z^2 - 5z + 4 - z + 4) * Y(z) = 0

5. Flyttar ena z:a över till HL och räknar vidare:

(-5z + 8 ) * Y(z) = z

Sen vettefan. Jag måste ha gjort någonting fel för jag ska ju kunna komma vidare och få in partiella fraktioner av det hela men jag kommer inget längre. Någon som kan visa hur jag kommer till partiella fraktioner?

Tusen tack för den eventuella hjälpen! Har suttit i tiiiiiimmar...

Ingen som kan hjälpa? Snälla...?

Är verkligen i behov av det.

Z^-1{z / (z - a)} = a^k

(-5z + 8 ) * Y(z) = z ->
Y(z) = - (1/5) * (z/(z-(8/5)) ->
y(k) = -(1/5) * (8/5)^k

Men det blir inte rätt...

Har du testat Wolfram Alpha? Där kan man mata in differentialekvationer om man är pro användare (gratis de första två veckorna) och få uträkning och svar.
http://www.wolframalpha.com/

Du gör fel i både steg 2 och 4.
I steg 2) blir det:

z^2*Y(z) - z^2*y[0]-z*y[1]+4*z*Y(z) - 4*z*y[0] + 4*Y(z) = 0

Du missade ett z på ett ställe...

I steg 4 bröt du ut Y(z) fel.... T.ex. när du stoppat in y[0] och y[1] så kan du inte bryta ut Y(z) från -z^2 som du gjorde...