Svenska ElektronikForumet

Jag läser en bok om ordinära differentialekvationer
och det är lite uppgifter i början där man ska utvärdera
olika ekvationer och avgöra vilken typ de är av.

En uppgift är Vågekvationen:
http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/lpde/lpde201.pdf

a är en parameter och ingen variabel.

Att det är en partiell diffekvation och av 2:a ordning är jag med på.
Däremot lite osäker på hur jag ska veta att den är linjär.

Det klart inga av derivatorna är ju produkter av en annan derivata
vilket är en bit på väg mot linjärt.

Det jag lärt mig av boken är att en linjär ordinär diffekvation kan
skrivas a0(t)y(t) + a1(t)y´(t) + a2(t)y´´(t)...osv

Men här blir det lite dubbelt av det hela om jag får gissa:
a0(x,t)w(x,t) + a1(x,t)dw(x,t)/dx + a1(x,t)dw(x,t)/dt + ... osv

Två a1? Kan det vara riktigt?

Den är linjär eftersom operatorerna som beror på w är linjära.

En funktion f är linjär om f(ax+by) = af(x) + bf(y)

Du kan se ekvationen som en operator som verkar på funktionen w:
T w = (d2/dt2 - a2 d2/dx2) w = 0

och då är denna operator linjär, enligt:

T (aX+bY) = d2/dt2 (aX+bY) - a2 d2/dx2 (aX+bY) = a d2X/dt2 + b d2Y/dt2 - a2 (a d2X/dx2 + b d2Y/dx2) = aTX + bTY

(med reservation för att det är meckigt att skriva matte i detta forum )

Då är det en 2:a ordningens linjär partiell differentialekvation.

Det finns inga som helst svar i den boken jag läser och dessutom
är det lite kryptiskt att komma fram till svaren baserat på texten
i tillhörande kapitel.

Helt rätt, andra ordningens linjär partiell.

För att svara på din första fråga: en linjär ordinär diffekvation är helt enkelt en som kan uttryckas
som en linjär summa av derivator av y, precis som du säger. Derivata är en linjär operator och därför blir då också
summor av derivator linjära.

I det andra fallet du visar, så spelar inte a1 någon roll alls för linjäriteten, så länge den inte beror på w.
Det viktiga är att du bara har linjära operatorer, som t.ex. derivator.
(Tror dock det finns nåt som heter kvasilinjära partiella diffekvationer, där a0, a1 etc tillåts bero på w)