Svenska ElektronikForumet

Jag har lånat en bok om brus och vill själv lära mig mer så en guide kan vara ett bra sätt
att få saker och ting att fastna lite bättre samtidigt som det är ganska intressant ur
elektronik-synpunkt. Borde passa bra på ett elektronikforum.

Jag börjar med "kapitel 1" och inledande teori om termiskt brus.
=====================================================================================

Termiskt brus.

Först observerat av J.B.Johnson 1927 och sedan teoretiskt analyserat av Harry Nyquist 1928.
Ledare som har en temperatur över absoluta nollpunkten genererar termiskt brus.
Det termiska bruset ger upphov till strömvariationer i ledaren som i sin tur ger
upphov till spänningsskillnad mellan ledarens terminaler. Medelvärdet av strömvariationerna
är noll så någon effekt går inte plocka ut.

Den tillgängliga brus-effekten i en ledare, Nt, är proportionell i förhållande till den
absoluta temperaturen och till bandbredden hos mätutrustningen.

Nt = kTB

där k är Boltzmann's konstant (1.38x10^-23 Ws/K)
T är temperaturen i kelvin (K) och
B är bandbredden i hertz (Hz)

Vid rumstemperatur (17grader C eller 290K) och B=1Hz så fås Nt=4x10^-21 W vilket
är detsamma som -204dB refererat till 1W. Refereras till 1mW (vanligt i RF sammanhang)
så anges värden i dBm och då blir värdet -174dBm och det kallas ofta för "brus-golv".
Detta är den minsta brusnivå som är möjlig att uppnå i ett system som befinner sig
i rumstemperatur.

Brus-effekten är densamma från 1Hz till 2Hz som den är mellan 1000Hz och 1001Hz.
Termiskt brus kallas därför vitt brus pga att många frekvenser är inblandade på
liknande sätt som vitt ljus. Om man utför en Fourieranalys av termiskt brus så
fås en platt kurva av bruset kontra frekvensen.

Det är betydligt lättare att mäta brus-spänning än att mäta brus-effekt.

Tillgänglig brus-effekt är den effekt som kan levereras av en resistiv källa när
den matar en brusfri resistiv last av samma resistans som källans resistans.

Därför kan man se det hela som en spänningskälla, Et, i serie med två motstånd, RS och RL,
där RS=RL och en utspänning, Eo, tas mellan RS och RL.

Eo = Et/2 och där Et är brus-spänningens sanna RMS-värde.

Effekten som levereras till RL är Nt = Eo^2/RL = Et^2/4/RL = Et^2/4/RS = kTB

Så om man nu har en resistor R=RS som genererar brus-spänningen Et så får man att

Et^2 = 4kTRB

där R är den reella delen (den resistiva delen) av en impedans.
Inte helt enkelt dc-resistansen utan den reella delen av en komplex impedans.
För en spole kan det inkludera strömvirvelförluster och för en kondensator
dielektriska förluster.

Ex) Termiska bruset i en 1k resistor vid en bandbredd på 1Hz genererar
en brus-spänning på 4nV rms vid rumstemperatur.

Et^2 = 4kTRB är ett förenklat uttryck men fullt användbart vid rumstemperatur ända upp till
mikrovågs-området. I det fullständiga uttrycket ingår en term p(f) som är Plancks faktor där
Plancks konstant ingår. p(f)=1 för de flesta användningsområden.

Et^2 = 4kTRp(f)df

är den rätta formeln.

Sammanställer det hela med en bild...

Nu ska jag inte citera boken rakt av men grunderna är ju oftas de samma oavsett bok/ínternet/författare.
Väldigt bra i vilket fall att skriva ned saker och ting då man tvingas tänka till.

Så jag fortsätter med grunder om termiskt brus.
============================================================================================
Brus-bandbredd
============================================================================================
Brus-bandbredd är inte det samma som vanliga -3dB bandbredden som man använder tex för filter
och förstärkare. När brus-bandbredden anges så är det effekt-förstärkningskurvan som utgås ifrån.
Vanligtvis vet man enbart hur spännings-förstärkningskurvan som funktion av frekvensen ser ut (Bode diagram)
men effektförstärknings-kurvan fås genom att kvadrera spänningskurvan.
Om Av(f) är spännings-förstärkningen som funktion av frekvensen så är |Av(f)|^2 = G(f) = "power gain"
Brus-bandbredd fås som arean under G(f) dividerat med maximum av G(f)-kurvan (toppvärdet), Gmax.
B = 1/Gmax x arean under G(f) mellan 0 och oändligheten. 1/Gmax = 1/|(Avmax)^2|
Brus-bandbredden är alltid större än -3dB-bandbredden för ett system.

============================================================================================
Brus-täthet
============================================================================================
Sedan finns "spectral density", S(f), som beskriver brus-innehållet i en bandbredd av 1Hz i spektrat.
Alltså man tänker sig ett skarpt (rektangulärt) bp-filter med bandbredd 1Hz och mäter hur mycket
brus som släpps igenom.

S(f) = Et^2/B = 4kTR och har enheten V^2/Hz

Tas kvadratroten ur S(f) så fås ett värde i enheten Volt per Hz^0.5

Vill man mäta upp totala bruset i ett bredbandigt system så får man integrera S(f) över den
aktuella bandbredden. Efter lite enklare räkningar fås att Eon^2 (output noise) är lika med
4kTRB(Avmax)^2 där B är den aktuella bandbredden. En RMS-voltmeter mäter Eon.

Ex) En ideal bandpass-förstärkare med brytfrekvenserna f1= 30Hz och f2=25kHz och brusfri samt Rin=stor
förstärker bruset från en 1k resistor. Det värde som en sann RMS-volmeter visar på utgången är det värde
som fås om S(f) integreras från 30 till 25000 (B=24970Hz). Det RMS-voltmetern visar är volt per Hz^0.5
Vill man ha fram S(f) för resistorn så får man kvadrera detta värde och dividera med bandbredden.

Sammanställer texten ovan med en tydligare bild.

Nu tänker jag fortsätta med att räkna några exempel vilket visar sig vara väldigt kul och lärorikt.
Jag upptäcker hur mycket jag glömt av analyskurserna på högskolan men en del matte verkar ha etsat
sig fast och det är inte så jättejobbigt när jag får bläddra i böckerna på nytt.

I boken tar de upp ett enklare exempel på två kaskadkopplade RC-LP-länkar med en brusfri förstärkare
som länk mellan de två filtren. Dessutom har de samma brytfrekvens vilket underlättar matematiken en del.

Det visar sig att det ofta blir väldigt komplicerat att manuellt beräkna brusbandbredden till
och med för de allra enklaste överföringsfunktioner, men inget är förstås omöjligt.

Så till att börja med var jag väldigt nyfiken på att analysera en vanlig RLC-krets. Det kan man gott
tänka sig att ett första steg i en förstärkarkjedja består av. Tex en sensor som matar ett RLC-filter
eller en givare som kan modelleras som en resonanskrets.

Nu har jag uteslutit en del steg i räkningarna då det blir lite bökigt att knappa in formlerna men det
ska gå ganska lätt att se hur räkningarna i princip gått till.

I överföringsfunktionen har jag lagt in resonanskretsens bandbredd, delta omega, som fås genom att
lösa ekvationen för fasvinkeln satt till +45grader (undre gränsfrekvens) och -45 grader (övre).

Sedan fås överföringsfunktionens max-värde genom att sätta imaginärdelen lika med noll.



Nästa steg blir att beräkna integralen och då får man ta till tricket med substitution och ändra integralens
gränser. Detta ger två integraler med tan-funktioner och där det visar sig (genom ytterligare en substitution)
att den komplicerade (till höger) blir noll. Resultatet blir att brusbandbredden är bandbredden ggr. pi/2