Svenska ElektronikForumet

Castello skrev:Fouriertransformen är ju Laplacetransformen evaluerad på imaginäraxeln, dvs, för a=0, så bekymren med konvergens finns inte där.

Det är just konvergens som du måste ha. Den kontinuerliga Fourier-transformen är identisk med den dubbelsidiga Laplace-transformen evaluerad för s=iw om och endast om Laplace-transformen konvergerar på imaginäraxeln (a=0).

Ett enkelt exempel där det inte stämmer är funktionen f(t) = cos(w0*t) som har Laplace-transformen s/(s^2+w0^2), vilken enbart konvergerar för Re(s) > 0, och den har en pol (singularitet) för s=iw0 (för övrigt har den Foruier-transformen delta(w-w0)).

Det finns gått om andra liknande exempel, så man måste vara lite försiktig med att säga att Fourier-transformen är Laplace på imaginära axeln.

thebolt: Det är sant det du säger; mitt påstående förutsätter att man kan evaluera Laplacetransformen av en viss funktion på imaginäraxeln, för att Fouriertransformen av samma funktion ska existera. Så ja, för att förtydliga: Fouriertransformen av en viss funktion är Laplacetransformen av samma funktion, evaluerad på imaginäraxeln, förutsatt att imaginäraxeln ingår i Laplacetransformens konvergensområde. Gör den en inte det har inte den aktuella funktionen någon Fouriertransform.

Det där blev nästan rätt, utom sista meningen.

En funktion kan ha en Fourier-transform utan att Laplace-transformen är konvergent på hela imaginäraxeln, exempel på detta är den tidigare visade cos(w*t)-funktionen vars Laplace-transform har en singularitet på imaginäraxeln, men har en Fourier-transform bestående av Diracs delta-funktion. Då Laplace och Fourier är linjära gäller samma sak för (ändlig) summa av cos-funktioner, men även andra funktioner så som steg, fyrkantsvåg etc har en Laplace-transform som enbart är definierad för Re(s) > 0 och därmed sammanfaller inte Laplace och Fourier (men de har både Laplace och Fourier-transformer).

-M

Glömde säga att jag blev klar med uppgiften för nån vecka sen, btw. Sorry!

Tack för alla som ägnat tid åt att hjälpa till i alla fall, verkligen uppskattat!!!