Svenska ElektronikForumet

@psynoise, Är dina anteckningar som följande (i LaTeX) ..?

Invers Laplacetransform av fyrkantsvåg

\(X(s) \equiv \frac{1}{s} \frac{1}{1+e^{-s\tau}}\)

där

\(X_1(s) \equiv \frac{1}{1+e^{-s\tau}} = \overbrace{\frac{1-e^{-s\tau}}{1-e^{-s\tau}}}^{=1}\)

\(\qquad = \{konjugatregeln\} = \frac{1}{1-e^{-s2\tau}} (1-e^{-s\tau)\)

\(\frac{1}{1-e^{-s2\tau}}\) innebär periodicitet med perioden \(2\tau\)

medan

\(1 \overset{L^{-1}}{\longleftrightarrow} \delta(t)\)

\(e^{-s\tau} \longleftrightarrow \delta(t-\tau), T\geq0\)

Vidare fås

\(X(s) = \frac{1}{s} X_1(s)\)
\(\overset{L^{-1}}{\longleftrightarrow}\)

\(x(t) = \int \limits_{0^-}^{t} x_1(T) dT\)

=>

\(x_T(t) = \int \limits_{0^-}^{t} \delta(T) - \delta(T-\tau) dT\)


\(= u(t) - u(t-\tau)\)

vilket till sist ger

\(x(t) = \sum_{n=0}^{\infty}x_T(t-n2\tau)\)

Inte riktigt, jag korrigerar här under samt ändrar några variabel namn då t:na inte räcker till.

På pappersanteckningarna använde jag \(\tau\) för att beskriva pulsernas längd som här blir ersätt av \(t_{0}\). Vidare använde jag kyrilliska t för den sista integralen vilket här får bli \(\tau\) då jag tror extra bibliotek måste laddas för att få tillgång till kyrilliska tecken.

Invers Laplacetransform av fyrkantsvåg

• \(\displaystyle X(s) \equiv \frac{1}{s} \frac{1}{1+e^{-s t_{1}}}\)

där

• \(\displaystyle X_1(s) \equiv \frac{1}{1+e^{-st_{0}}} = \frac{1}{1+e^{-st_{0}}} \overbrace{\frac{1-e^{-st_{0}}}{1-e^{-st_{0}}}}^{=1}\)

• \(\displaystyle \qquad = \{konjugatregeln\} = \frac{1}{1-e^{-s2t_{0}}} (1-e^{-st_{0}})\)

\(\frac{1}{1-e^{-s2t_{0}}}\) innebär periodicitet med perioden \(2t_{0}\) medan

• \(\displaystyle1 \overset{\mathcal{L}^{-1}}{\longleftrightarrow} \delta(t)\)

• \(\displaystyle e^{-st_{0}} \overset{\mathcal{L}^{-1}}{\longleftrightarrow} \delta(t-t_{0}), T\geq0\)

Vidare fås

• \(\displaystyle X(s) = \frac{1}{s} X_1(s)\)

\(\overset{\mathcal{L}^{-1}}{\longleftrightarrow}\)

• \(\displaystyle x(t) = \int \limits_{0^-}^{t} x_1(\tau) d\tau\)

\(\Rightarrow\)

• \(\displaystyle x_T(t) = \int \limits_{0^-}^{t} \delta(\tau) - \delta(\tau-t_{0}) d\tau\)

• \(\displaystyle = u(t) - u(t-t_{0})\)

vilket till sist ger

• \(\displaystyle x(t) = \sum_{n=0}^{\infty}x_T(t-n2t_{0})\)

EDIT: Korrigerad fel uppmärksammat av Snigelen.

EDIT2: Mindre ändring.

\(\displaystyle X_1(s) \equiv \frac{1}{1+e^{-st_{0}}} = \overbrace{\frac{1-e^{-st_{0}}}{1-e^{-st_{0}}}}^{=1}\)

ska väl vara
\(\displaystyle X_1(s) \equiv \frac{1}{1+e^{-st_{0}}} = \frac{1}{1+e^{-st_{0}}}\cdot \overbrace{\frac{1-e^{-st_{0}}}{1-e^{-st_{0}}}}^{=1}\)

Tack, felet är nu rättat. Dock hoppade jag över \(\cdot\) som egentligen endast bör användas till skalärprodukt.

\(\cdot\) som egentligen endast bör användas till skalärprodukt.

Den som sade det till dig har fel. Men det spelar ingen större roll. Var och en gör som hen vill.

Klart att det är en princip. Den som gav mig tipset är professor i signalbehandling och jag tycker numera likadant att \(\cdot\) mycket väl bör undvikas sålänge det inte blir otydligt utan. I det här fallet finns det ingen anledning att använda multipliceringstecken.