Många lager damm har hunnit lägga sig på mina transformkunskaper men vi gör ett försök...
Perioden är 2 och vågformen är centrerad runt 0, därför förenklar jag för mig själv och mitt TeXande och använder gränserna -1 till 1 rakt av. Byt ut mot -P/2 till P/2 eller liknande om så önskas.
Jag är lite ovan vid uppgiftens nomenklatur
(brukar man inte låta F(t) = a0/2 + sum(...) för att kunna inkludera även n=0 i nedanstående formel för a_n?), men vi definierar i alla fall Fourierkoefficienterna som:
\({a_n} = (1/2) \int_{-1}^1 \! F(t) \, dt \, \,(n = 0)\)
\({a_n} = \int_{-1}^1 \! F(t) cos({\pi n t}) \, dt \, \,(n > 0)\)
\({b_n} = \int_{-1}^1 \! F(t) sin({\pi n t}) \, dt \, \, (n > 0)\)
Vidare kan vi stycka upp F(t) till:
\(F(t) = \begin{cases} 0, & -1 < t < -d \\ 1, & -d < t < d \\ 0, & d < t < 1 \end{cases}\)
Vilket ger att:
\({a_0} = (1/2) \int_{-d}^d \! 1 \, dt = 2d/2 = d\)
\({a_n} = \int_{-1}^1 \! F(t) cos({\pi n t}) \, dt\)
\(= \int_{-d}^d \! 1 \, cos({\pi n t}) \, dt\)
\(= [sin(\pi n d) - sin(-\pi n d)]/(\pi n)\)
\(= 2 sin(\pi n d)/(\pi n) \, \, \text{för} (n > 0)\)
Och på samma sätt fås
\({b_n} = 0\) för alla n>0. Detta lämnas som en övning till läsaren
(Edit: Rättade till uträkningen av a_0)
