superx skrev:rogerk8 skrev:Vi har alltså ett olinjärt element. Låt oss beskriva överföringsfunktionen hos detta element enligt:
\(i=e^{ku}\)
dvs typ en diod.
Om vi nu skickar in och summerar både
\(u_1(t)=U_1sin(w_1t)\)
och
\(u_2(t)=U_2sin(w_2t)\)
samt förenklar med U1=U2=U så får vi att
\(i(t)=e^{kU(sin(w_1t)+sin(w_2t))}==e^{kUsin(w_1t)}*e^{kUsin(w_2t)=(e^{kU})^{sin(w_1t)}*(e^{kU})^{sin(w_2t)}\)
och eftersom
\(e^{kU}\)
är en konstant kan vi leka med tanken att den även skulle råka vara 1 vilket ger
\(i(t)=sin(w_1t)*sin(w_2t)\)
Låt oss beskriva den olinjära funktionen med en Taylor-utvecking istället.
\(i=a_0 + a_1x + a_2x^2 + ...\)
I detta fall får vi alltså:
\(i=a_0 + a_1 kU(sin(w_1t)+sin(w_2t)) + a_2 k^2U^2(sin(w_1t)+sin(w_2t))^2 + ...\)
\(i=a_0 + a_1 kU(sin(w_1t)+sin(w_2t)) + a_2 k^2U^2(sin(w_1t)^2+sin(w_2t)^2 + 2sin(w_1t)sin(w_2t)) + ...\)
Och där på slutet kommer multiplikationen vi var ute efter. I det här läget inser man även att det finns lite andra termer att filtrera bort.
Oj, är det så enkelt att leka med Taylor
Jag har kommit på detta något krångliga bevis mha Maclaurin-utveckling (om man ska vara förnäm):
Säg att vi har
\(f(g(t))=e^{g(t)}\)
där
\(g(t)=kUsin(wt)\)
Vi vill nu undersöka f för små variationer i g (och inte t) varför vi deriverar map g och får
\(f`(t)=e^{g(t)}=f(t)\)
Maclaurinutveckling säger
\(f(t)=f(0)+f`(0)x+1/2f``(0)x^2+...\)
Tar vi bara tar med dom två första termerna och anpassar till våran situation fås
\(f(t)=f(0)+f`(0)g(t)\)
dvs (observera att det är g som är noll här egentligen)
\(f(t)=1+1*kUsin(wt)\)
Och för små g kan alltså våra "problemprodukter" approximeras med
\(i_1(t)=1+kUsin(w_1t)\)
\(i_2(t)=1+kUsin(w_2t)\)
Som uppenbarligen multipliceras med varandra vilket ger
\(i_1(t)*i_2(t)=1+kUsin(w_1t)+kUsin(w_2t)+(kU)^2sin(w_1t)sin(w_2t)\)
Här är ettan lite skum men i övrigt ser man att grundtonerna (naturligtvis) finns kvar med sina amplituder. Dessutom ser man en verklig multiplikation av amplituderna i kvadrat.
Nu torde detta vara bevisat både framlänges och baklänges. Tack för alla tips och råd! Nästa kapitel hade jag tänkt skulle handla om varför en Hartley-oscillator svänger överhuvudtaget. Gjorde en Laplace-analys av kretsen men det sa mig inget. Måste på nåt sätt förstå medkopplingen ihop med transistorparametrar.
MVH/
PS
Konstigt. Tex gillar inte prim-tecken...
) likhet faktiskt ser ut som den gör, medan jag bara påstår att det är på det viset.
) för hand är inte så kul 
