Hur skapar man differentialekvationer av en RLC-krets?

[4kTRB]

Linjär krets menar du.
Jo state-analys gör att du relativt enkelt får svar på alla tillstånd i kretsen
vid ett visst tidsögonblick.


Schema 2 i första inlägget:

Kalla inspänningen u och

iL1 = x1
vC = x2
iL2 = x3

Då kommer du fram till följande:

x'1 = 1/L1*(u-x1*R1-x2)
x'2 = 1/C*(x1 - x2/R2 - x3)
x'3 = 1/L2*(x2 - x3*R3)

Där har du state-ekvationerna.

Sedan:

vR1 = R1*x1

vL1 = u - x1*R1 - x2

vC = x2

vR2 = x2

vR3 = x3*R3

vL2 = x2 - x3*R3

i1 = x1

i2 = x1 - x2/R2 - x3

i3 = x2/R2

i4 = x3

Så om du börjar med att lösa state-ekvationerna som väl blir
någon typ av matrisgrej, gauss-eleminering eller liknande,
så har du svaret på övriga spänningar och strömmar vid varje t.

[Volvo740]

Nu börjar allt falla på sin plats!

Jag måste alltså tolka schemat så här där kondensator \(C_1\) har en "inbyggd" resistans \(R_2\).
Strömmarna i kretsen kan endast heta något med \(L\) t.ex. \(I_{L_1}\) och \(I_{L_2}\).
Spänningen i kretsen kan endast heta något med \(C\) t.ex. \(U_{C_1}\).

Orsaken är att vi kan endast fokusera på kondensatorer och spolar i en RLC-krets då dem behandlar förändringshastigheter.

Första loopen, sett från vänster, blir så här. Här tolkas \(U_{C_1}\) som något som skapar mottrycket i kretsen.
\(U - R_1 I_{L_1} - L_1\dot{I_{L_1}} - U_{C_1} = 0\)

Därmed måste vi definiera spänningsfallet \(U_{C_1}\). Då blir det en liten "mellanODE". Denna ODE definierar endast kondensatorns uppladdning och resistans, då en kondensator har faktiskt en resistans i verkligheten. Jag skulle inte kalla denna ODE för "loop".
\(I_{L_1} - I_{L_2} - \frac{U_{C_1}}{R_2} - C_1 \dot{U_{C_1}} = 0\)

Nu över till andra loopen. I detta fall ska \(U_{C_1}\) ses som en spänningskälla som "skickar ut" spänning.
\(U_{C_1} - R_3 I_{L_2} - L_2 \dot{I_{L_2}} = 0\)

Så resultatet blir detta i en tillståndsmodell:
\(\begin{bmatrix}
\dot{I_{L_1}}\\
\dot{U_{C_1}}\\
\dot{I_{L_2}}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\frac{-R_1}{L_1} & -\frac{1}{L_1} & 0 \\
\frac{1}{C_1} & -\frac{1}{C_1 R_2} & -\frac{1}{C_1} \\
0 & \frac{1}{L_2} & -\frac{R_3}{L_2}
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
I_{L_1}\\
U_{C_1}\\
I_{L_2}
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
\frac{1}{L_1}\\
0\\
0
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
U
\end{bmatrix}\)

[4kTRB]

Ja det ser ut som samma jag kom fram till.
Nu kan du väl Laplace-transformera och lösa
ekvationerna skulle jag tro?

[Volvo740]

LaPlace?

Vad tråkig du är då. Visst, LaPlace är riktigt bra om man vill analysera i frekvensplanet. Men jag jobbar inte så mycket inom elektronik. Mekaniken och hydrauliken är viktig för mig och då är det nästan enbart tillståndsmodeller som gäller.

Problemet med LaPlace är att det är bara för SISO-system. Vilket mekaniskt system är SISO? Absolut inget system.

Här är formeln för konverteringen. Vi vet \(A\) och \(B\), då är det bara välja \(C\) som en vektor som är av transponat, dvs \(C^{T}\).
\(G(s) = C(s I - A)^{-1}B\)

[4kTRB]

Jag testade i LTSpice.

Med exempelvis

R1 = R3 = 10ohm
R2 = 10kohm
L1 = L2 = 220uH
C1 = 15nF

så blir blir kretsen ett hyggligt
bra bandpass-filter runt 125kHz.

Stegsvaret blev ganska svängigt,
som en Volvo 740 utan olja i dämparna!

[Volvo740]

Det ska vara svajigt! Skönt.
Jag laddar upp filen för de som vill ta del av resultatet i denna tråd.

Jag är inte expert på överföringsfunktioner, trots att jag har hållit på med dessa. Jag tröttnade direkt på SISO-system.
Men vart används överföringsfunktioner mest inom elektroniken? Filtrering är ett område vet jag. Där är det mycket användbart, om inte ett måste.

[4kTRB]

Den där kretsen skulle kunna beskriva en förstärkare.
Det blir ungefär samma respons vid en puls.

[Volvo740]

Hur menar du en förstärkare? Vad är det som förstärker? Du menar inte filter?

Jag undrar hur det skulle bli om man lade in en OP-förstärkare? Då blir det väll bara en skalär typ en konstant?

\(u = C(a - b)\)

[4kTRB]

Förstärkare är ju ungefär som bandpassfilter
men kretsen ger ganska lite info om förstärkaren
så den är inget vidare att ha till just det kanske.

Men överföringsfunktioner är ju hur vanligt som helst
inom elektronik även om man kanske inte använder
det speciellt ofta som hobbyelektroniker.

[Volvo740]

När använder du överföringsfunktioner?

[4kTRB]

Inte så ofta som sagt var.
Finns tjocka böcker som inte tar upp annat än sånt

[Volvo740]

Tackar. Detta är något jag inte kommer använda ändå fast jag håller på med reglerteknik.

[4kTRB]

Jag vet inte vad de lär ut på till exempel Maskin-ingenjörsprogrammen men
elektriska nät är ett väldigt bra sätt för att hantera mekaniska system.

Mechanical-electrical analogies
https://en.wikipedia.org/wiki/Mechanica ... _analogies

Indeed, the lumped element abstract topology of electrical analysis has much to offer problems in the mechanical domain, and other energy domains for that matter.

[Volvo740]

Jag har lärt mig skapa ODE:er av RLC-kretsar för endast tillämpa mekanik och elektronik i samma modell. Ibland händer det att man har fördröjningar inom mekaniken som orsakas av elektroniken och då är det mycket bra att beskriva en matematisk modell av hela systemet så man kan undvika denna fördröjning.

Om man vet alla tillstånd i systemet så kan man enkelt med en LQR regulator undvika fördröjning.