Hur skapar man differentialekvationer av en RLC-krets?

[Volvo740]

Hej!
Jag har en bild här nedan där jag har slumpmässigt satt ihop resistorer, kondensatorer och en spole. Nu är uppgiften att skapa en så kallad tillståndsmodell av detta. Notera att elektriska kretsar är unika jämfört med mekaniska. Med mekaniska så tar man bara hänsyn till acceleration multiplicerat med massa, som är kraften.

Men i en elektrisk krets så måste man ta hänsyn till:
\(\frac{1}{C}\frac{du}{dt} = i_c\)
\(L\frac{di}{dt} = L_v\)


Men hur ska man egentligen tänka? Jag vet om att för en enkel RLC-krets med en spänningskälla så kan man uttrycka den som:
\(L\frac{di}{dt} + Ri + \frac{1}{C}\int i dt = u\)

Men då får man en integral differentialekvation. Jag söker ordinär differentialekvation. Så om jag uttrycker \(\dot{q} = i\) så kan jag uttrycka RLC-kretsen som:

\(L\ddot{q} + R\dot{q} + \frac{1}{C}q = u\)

Därmed har jag en 2:a grads ODE. Perfekt! Men då är frågan! Kan jag använda denna teknik för kretsen nedan? Alltså Maxwell's cirkulerande spänningsmetod? Målet är att skriva en 1:a gradare ODE på denna form:
\(\dot{x} = Ax + Bu\)

Exempel på 2:a grads ODE:
\(L\ddot{q_1} + R_1(\dot{q_1} -\dot{q_2}) + \frac{1}{C_1}(q_1 - q_2) = U \\
\frac{1}{C_2}q_2 + R_2\dot{q_2} + \frac{1}{C_3}q_2 + R_1(\dot{q_2} -\dot{q_1}) + \frac{1}{C_1}(q_2 - q_1) = 0\)

Har jag gjort rätt? Kan man tänka så här?

Edit: Här har jag en bättre. Den nedre.

[4kTRB]

Först och främst kan du väl förenkla kretsen,
slå ihop C2 och C3. Sedan strömgrening och
använda Laplace. Det blir väl ett ekvationssystem
med 3 strömmar. Induktanser blir sL och kondensatorer
1/(sC).

[Volvo740]

Okej. Förenkla! Det håller jag med om.

Men varför Laplace? Varför inte tillståndsmodell?

[guckrum]

Visst kan du göra så, men som du märker så blir det ganska
komplicerat. Ofta är det så att kretsar av den typen du ritat används
som någon typ av (linjärt) filter, och i sådana applikationer är
frekvenssvaret mycket intressantare än det transienta beteendet. Då
kan man jobba på den imaginära axeln i laplacedomänen och allt blir
mycket enklare. Men du har inte sagt vad du tänker ha detta till.

Ingenjörsarbete handlar mycket om att abstrahera och fokusera på det
som spelar roll för en viss analys/applikation. Komplicerade
matematiska modeller som gör anspråk på att vara generella blir ibland
relativt sett klumpiga.

[Volvo740]

Jag vill bara lära mig lite elektronik.

Oftast håller jag på med tillståndsmodeller när det kommer till mekaniken då jag tar hänsyn till gravitationen. Då vill jag se exakt hur varje komponent beter sig. Superviktigt!

Dessutom utvecklar jag LQR/LQG regulatorer. Dem är bättre än PID, men något svårare.

Men nu är jag inne på elektroniken och jag uppfattar nu att detta var mycket svårare än mekaniken.
Så kan man dra en tumregel att laplace är mycket bättre att använda för att skapa en matematisk modell av en elektrisk krets?

[guckrum]

Ja, laplacetransform är nog oftast enklare. Man ser kretsen som en
graf av sammankopplade impedanser (en spole har den komplexa
impedansen sL osv). På grafen applicerar man sedan metoder typ nod-
och maskanalys, superposition med mera för att förenkla och reda ut
kopplingen.

[4kTRB]

Vill minnas jag använde sånt i reglerteknik.
Har Hayts bok men i min edition har State-Variabel-kapitlet
bytts mot något annat. Men här är ett helt kapitel om
ämnet: http://highered.mheducation.com/sites/0 ... lysis.html

I kapitlet finns att läsa:

The set of variables we will select in state-variable analysis is a hybrid set
that may include both currents and voltages. They are the inductor currents
and the capacitor voltages. Each of these quantities may be used directly to
express the energy stored in the inductor or capacitor at any instant of time.
That is, they collectively describe the energy state of the system, and for that
reason, they are called the state variables.

[Volvo740]

Ja, laplacetransform är nog oftast enklare. Man ser kretsen som en
graf av sammankopplade impedanser (en spole har den komplexa
impedansen sL osv). På grafen applicerar man sedan metoder typ nod-
och maskanalys, superposition med mera för att förenkla och reda ut
kopplingen.

Jo. I elektriska fall är den enklare, men kombinerat med mekaniken så blir det svårt. Som jag vet kan man inte kombinera laplace med tillståndsmodeller.

[Volvo740]

Vill minnas jag använde sånt i reglerteknik.
Har Hayts bok men i min edition har State-Variabel-kapitlet
bytts mot något annat. Men här är ett helt kapitel om
ämnet: http://highered.mheducation.com/sites/0 ... lysis.html

Såg svårt ut! Det verkar vara ny teknik det där.

Jag frågade en person och han sade att om jag har en krets och kretsen innehåller 3 stycken komponenter med första derivatan. Då blir det tre ekvationer. Lät inte så farligt! En ekvation per spole/kondensator.

Jag kom på en sak nu! Om jag först gör maskanalys(Maxwells cirkulerande strömmar) för att räkna ut hur mycket ström som flöder i kretsen. Då kan jag senare räkna ut spänningen i kretsen. Där efter kan jag hitta ingången och utgången till varje spole/kondensator?

[Volvo740]

Jag får erkänna mig besegrad! Tillståndsmodeller för elektriska system är ett helvete! Det är LaPlace som gäller när det kommer till elektriska system.

[4kTRB]

Det är nog bara att du tar dig tid att läsa igenom
till exempel det kapitel 19 jag länkade till.
Det är inte så extremt svårt då du verkar ha koll
på matematiken.

Man väljer statevariabler
exempelvis ström genom induktans, x1,
och spänning över kondensator, x2.

En enklare krets ger 2 stycken state-ekvationer
som exemelvis så här:

x'1 = Ax1 + Bx2 + u
x'2 = Cx1 + Dx2

Alla kretsens önskade tillsånd vi tiden t kan
sedan fås fram då de är linjära kombinationer
av x1, x2 och u.

Lös state-ekvationerna för att få fram x1(t), x2(t)
så kan alla kretsens tillstånd fås fram vid känd
insignal u(t).

[Volvo740]

Jag får nu ta upp kampen igen och försöka. Jag tror jag gav upp för lätt.

Det jag bet att jag måste hitta ingång och utgång på varje kondensator och spole. Detta är det som bygger den dynamiska modellen.
\(L\dot{I} = U_{in} - U_{ut}\)

Och

\(C\dot{U} = I_{in} - I_{ut}\)

Men problemet som jag har är att definiera alla dessa ingångar och utgångar.

[Volvo740]

Så tror ni jag har gjort rätt nu då?

\(U - R_1 I_1 - L_1 \dot{I_1} - U_{C_1} = 0 \\
I_2 - C\dot{U_{C_1}} - \frac{ U_{C_1}}{R_2} = 0 \\
- R_3 I_3 - L_2 \dot{I_3} - R_2(I_3 - I_2) = 0\)

Jag är mycket osäker på mittenekvationen. Vad tror ni?

Edit: Se min nedre bild.

\(U - R_1 I_1 - L_1 \dot{I_1} - U_{C_1} - R_2(I_1 - I_2) = 0 \\
I_1 - C\dot{U_{C_1}} - \frac{ U_{C_1}}{R_2} = 0 \\
- R_3 I_2 - L_2 \dot{I_2} - R_2(I_2 - I_1) = 0\)

[4kTRB]

Ditt första schema har 4 state-variabler
vC1, vC2, vC3, iL motsvarande
x1, x2, x3, x4
så då ska du ha 4 st state-ekvationer

x'1 =
x'2 =
x'3 =
x'4 =

Du kunde ju ha en enklare krets till att börja med.

Ström genom kondensator: iC1 = C1*v'C1 = C1*x'1

Spänning över spole: uL = L*i'L = L*x'4

[Volvo740]

Vänta nu lite! Jag hänger inte med. Dessutom behöver man inte uttrycka dessa variabler i tillståndsvariabler då hela kretsen är en 1:a grads krets. Endast 2:a gradskretsar, hur dom nu än ser ut, kräver tillståndsvariabler.

Du såg att jag uppdaterade mitt schema? Vilket är rätt?